最长公共子序列

描述
一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列X=（x1, x2,…, xm），则另一序列Z=（z1, z2,…, zk）是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列 （i1, i2,…, ik），使得对于所有j=1,2,…,k有：
Xij ＝ Zj

如果一个序列S即是A的子序列又是B的子序列，则称S是A、B的公共子序列。
求A、B所有公共子序列中最长的序列的长度。

输入
输入共两行，每行一个由字母和数字组成的字符串，代表序列A、B。A、B的长度不超过200个字符。

输出
一个整数，表示最长各个子序列的长度。
格式：printf(“%d\n”);

输入样例
programming
contest

输出样例
2

破题
使用动态规划的方法来解决问题。
动态规划的主要特点是 ： 原问题的最优解依赖于子问题的最优解。
在该问题中，就有原问题和子问题如下。
如果序列 Xm ={x1，x2,…,xm}，Yn={y1,y2,…,yn}， Zk={z1,z2,…,zk}. 序列Z(k)是 X(m),Y(n)的最长公共子序列。则会有
(1) 若xm=yn 则xm=yn=zk,且Z(k-1)是 X(m-1)和Y(n-1)的最长公共子序列；
(2)若xm!=yn，且xm!=zk ,则Z(k)是 X(m-1)和Y(n)的最长公共子序列；
(2)若xm!=yn，且yn!=zk ,则Z(k)是 X(m)和Y(n-1)的最长公共子序列；
构建出最优值的递归关系： c[i][j]代表X[0-i]和Y[0-j]公共子序列的长度。
c[i][j] = 0 (i=0,j=0)；
c[i][j] = c[i-1][j-1]+1 (i,j>0且 xi=yj)；
c[i][j] =max{ c[i-1][j]，c[i][j-1] }(i,j>0且 xi！=yj)；

输出c[m][n] 则为最长公共子序列的长度。（m代表数组X有m个元素，n代表数组Y有n个元素）；

具体代码如下：

#include <iostream>using namespace std;#define MAXLEN 100void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int c[][MAXLEN],int d[][MAXLEN]){    for(int i=1;i<=m;i++){        c[i][0]=0;    }    for(int j=1;j<=n;j++){        c[0][j]=0;    }    c[0][0]=0;    for(int k=1;k<=m;k++){        for(int l=1;l<=n;l++){            if(x[k-1]==y[l-1]){                c[k][l]=c[k-1][l-1]+1;                 d[k][l] = 1;            }else if(c[k-1][l]>=c[k][l-1]){                c[k][l]=c[k-1][l];                 d[k][l] = 2;            }else{                c[k][l]=c[k][l-1];                d[k][l] = 3;            }        }    }    cout<<c[m][n]<<endl;};int main(){    char x[MAXLEN],y[MAXLEN];    int m=0,n=0;    int c[MAXLEN][MAXLEN],d[MAXLEN][MAXLEN];    scanf("%c",&x[m]);    while(x[m]!='\n'){        m++;        scanf("%c",&x[m]);    }    scanf("%c",&y[n]);    while(y[n]!='\n'){        n++;        scanf("%c",&y[n]);    }    LCSLength(m,n,x,y,c,d);    return 0;}