动态规划

来源：互联网发布：雷洋事件知乎编辑：程序博客网时间：2024/05/17 13:08

最长公共子序列问题:

伪代码:

Procedure LCS_LENGTH(X,Y);LCS_LENGTH(X,Y);
begin
m:=length[X];
n:=length[Y];
for i:=1 to m do c[i,0]:=0;
for j:=1 to n do c[0,j]:=0;
for i:=1 to m do
for j:=1 to n do
if x[i]=y[j] then
begin
c[i,j]:= c[i-1,j -1]+ 1;
b[i,j]:="↖";
end
else if c[i -1,j]≥ c[i,j -1] then
begin
c[i,j]:= c[i-1,j];
b[i,j]:= "↑" ;
end
else
begin
c[i,j]:= c[j-1];
b[i,j]:="←"
end;
return(c,b);
end

在这个问题中图示:

在LCS算法中，每一次递归调用使i或j减1，因此算法的时间复杂度为O(m+n)。

例如，设所给的两个序列为X=<A，B，C，B，D，A，B>和Y=<B，D，C，A，B，A>。由算法LCS_LENGTH和LCS计算出的结果如下图所示：

我来说明下此图（参考算法导论）。在序列X={A，B，C，B，D，A，B}和 Y={B，D，C，A，B，A}上，由LCS_LENGTH计算出的表c和b。第i行和第j列中的方块包含了c[i，j]的值以及指向b[i，j]的箭头。在c[7,6]的项4，表的右下角为X和Y的一个LCS<B，C，B，A>的长度。对于i，j>0，项c[i，j]仅依赖于是否有xi=yi，及项c[i-1，j]和c[i，j-1]的值，这几个项都在c[i，j]之前计算。为了重构一个LCS的元素，从右下角开始跟踪b[i，j]的箭头即可，这条路径标示为阴影，这条路径上的每一个“↖”对应于一个使xi=yi为一个LCS的成员的项（高亮标示）。

所以根据上述图所示的结果，程序将最终输出：“B C B A”。

0 0