微分方程(1)---微分方程的数值解法
来源:互联网 发布:知乎一句话 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 01:56
常微分方程
常微分方程是由函数在某点导数值和一个与x,y相关函数组成的方程
式子
function f=f_xy(x,y)f=x^2-y^2;end
1.欧拉法
利用欧拉法解微分方程的思路是利用线性定理对下一步的函数值进行估计,欧拉给出的公式为
欧拉法的误差为一阶,故称为一阶方法
其代码为
x0=0;y0=1;x=[x0];y=[y0];a=.01;for h=0:a:1 y0=y0+a*f_xy(x0,y0); x0=x0+a; x=[x x0]; y=[y y0];endplot(x,y,'r+')
由欧拉法所解得的图像为
二阶龙哥库塔法
龙哥库塔法的出现时为了减小欧拉法带来的误差,其思想在于利用估计斜率的组合来获得真实斜率值得估计。
x0=0;y0=1;x=[x0];y=[y0];a=.01;for h=0:a:1 y1=y0; x1=x0+a; y1=y0+a*f_xy(x0,y0); Hypf_xy=f_xy(x1,y1); y0=y0+a*(f_xy(x0,y0)+Hypf_xy)/2; x0=x0+a; x=[x x0]; y=[y y0];endplot(x,y,'g+')hold on
结果如图
绿色的线是二阶龙哥库塔法的结果,显然要比红线更加贴近真实情况(对于凹曲线而言,微分方程数值解会小于真实值)
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