高等数学：第十二章 微分方程（1）微分方程的概念，可分离变量的微分方程，齐次方程

§12.1  微分方程的基本概念

凡表示未知函数、未知函数导数与自变量之间关系的方程，称之为微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

一般地，阶微分方程的形式是

                                Œ

其中是个变量的函数，在方程Œ式中，是必须出现的，而等变量可以出现，也可以不出现。

在以后的讨论中，我们主要讨论Œ式的特殊形式

                               

设函数在区间上有阶导数，如果在区间上

那未函数就叫做微分方程Œ在区间上的解。

如果微分方程的解含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同(这里的任意常数应相互独立，即：它们不能合并而使得任意常数的个数减少)，这样的解称之为微分方程的通解。

设微分方程为，其通解为，其中：为任意常数。为了确定任意常数的具体取值，通常给出条件

当   时，

或                                             Ž

这里都是给定的值。

设二阶微分方程为，其通解为，其中：为独立的任意常数。为了确定的值，通常给出条件

当  时，  ， ， 即

                                             

这里 都是给定的值。

上面所给出的这种条件Ž、叫做初始条件；

确定了通解中的任意常数之后所得到的解称作微分方程的特解。

求微分方程满足初始条件的特解，又称之为一阶微分方程的初值问题，记作

                                              

一般地讲，微分方程特解的图形是一条曲线，这一曲线称之为积分曲线。

初值问题的几何意义为：求微分方程通过点的那条积分曲线。

【例1】一曲线过点，且在该曲线上任一点处的切线斜率为，求该曲线的方程。

解：设所求曲线的方程为，则它满足

把方程两端积分，得      (是任意常数 )

由初始条件，有      

由此定出            

故所求曲线的方程为 

【例2】验证：函数

(是任意常数)

是微分方程    的通解。

解：  

，

显然 

故   是微分方程的解。因是相互独立的两个任意常数，而微分方程的阶数是二阶的，故它微分方程的通解。

§12.2  可分离变量的微分方程

【定义】如果一阶微分方程能化成

                                        Œ

的形式，那么原方程称之为可分离变量的微分方程。

为讨论这类微分方程的求解，我们先看两个引例

对于一阶微分方程

只需将上式两端积分就得到了这个方程的通解

但是，并非所有的一阶微分方程都能这样求解。

例如，对于一阶微分方程

 

就不能直接两端取积分求出它的通解。原因是方程右端含有未知函数，积分求不出来。为了解决这个困难，在方程的两端同乘以，使方程变为     

这样，变量与被分离在等式的两端，然后两端积分得

如此得到的函数是原来的微分方程的解吗?

直接验证：对方程两边关于求导，有

可见，它确实是原方程的通解。

下面讨论可分离变量微分方程

                                      Œ

的求解。

假定函数和是连续的。

设是方程Œ的解，将它代入方程得到恒等式

将上式两端积分有

引入变量替换，得

设及依次为及的原函数，于是有

                                          

因此，方程Œ的解满足关系式。

反之，如果是式所确定的隐函数，那未在的条件下，据隐函数的直接求导法有

因此，函数满足方程Œ。

综合上述讨论有

如果可分离变量方程Œ中的和连续，且，那么Œ式两端积分后得到的关系式，它用隐式的形式给出了方程Œ的解。

由于式含有任意常数，故式叫做微分方程的隐式通解( 当时，式所确定的隐函数也可认为是方程Œ的解)。

【例1】设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时()速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。

解：设伞下落速度为，在下落时，同时受到重力与阻力的作用，重力大小为，方向与一致;阻力大小为(为比例系数 )，方向与相反，从而伞所受外力为

据牛顿第二运动定律 ，得到函数应满足微分方程

方程是可分离变量的，分离变量得

两端积分，有

其中   

由初始条件  ，有 

于是所求的函数为

【例2】有高为100厘米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1平方厘米，开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里的水面的高度(水面与孔口中心间的距离 )随时间变化的规律。

解：由水力学知道，水从孔口流出的流量( 即通过孔口横截面的水的体积对时间的变化率 )可用下列公式计算

这里，为流量系数，为孔口横截面面积，为重力加速度。

现在，孔口横截面面积为

另一方面，设在微小时间间隔内，水面高度由降至，可得到     

其中是时刻时的水面半径，右端置负号是由于，而。

如图，

得到微分方程  

及初始条件    

方程是可分离变量的方程

将初始条件代入，定出常数。

把值代入并化简，得

【注记】

本例通过对微小量的分析，得到了微分方程。这种微小量分析法，是建立微分方程的一种常用方法。

§12.3  齐次方程

如果一阶微分方程

中的可写成的函数，即，称此方程为齐次方程。

例如  是齐次方程，因为

在齐次方程

 

中，引入变量替换

有  ，

将它们代入齐次方程，得

分离变量，得

两边积分，得

求出积分后，再用代替，便得所给齐次方程的隐式通解。

【例1】解方程

解： 原方程可写成

因此是齐次方程，令 ，则

于是原方程变为

分离变量， 得

两边积分，得

以代替， 得到原方程的通解

注记:

齐次方程的求解实际上是通过变量替换，将方程化为可分离变量的方程。

变量替换法在解微分方程中，有着特殊的作用。但困难之处是如何选择适宜的变量替换。一般来说，变量替换的选择并无一定之规，往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造。对于初学者，不妨多试一试，尝试几个直接了当的变量替换。

【例2】求下列微分方程的通解

1、

2、

解1、令,则  

 

原方程化为 

即  

解2、

令 ，原方程可化为

(其中  )

【例3】设河边点的正对岸为点，河宽，两岸为平行直线，水流速度为。有鸭子从点游向点，设鸭子(在静水中)的游速为，且鸭子游动方向始终朝着点，求鸭子游过的迹线。

解：设水流速度为，鸭子游速为，则鸭子实际运动速度为。

取为坐标原点，河岸朝顺水方向为轴，轴指向对岸，设在时刻鸭子位于点。

设鸭子运动速度为

，

故有  

而  ，

从而 

由此得到微分方程

即  

令 ，则 ，，代入上面的方程有

分离变量得  

积分得  

 ， 

 

 ， 

以条件时代入上式，得 ，故鸭子游过的迹线为

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