用组合数学公式代替回溯

转自http://blog.csdn.net/roger__wong/article/details/8134162

最近看一些数学方面的书，包括概率论、数理统计、随机过程、组合数学等，发现数学这个工具威力绝对是无穷的，若在编程中融入数学的一些思想，程序的运行效率会的得到前所未有的提升。遂将这些读书中的感想写成心得，起名曰“数学的力量”。

 

首先让我们从一个很简单的问题说起：

有方程a+b+c+d+e=20，求其非负整数解的个数。

题目很简单，首先想到的是使用回溯进行求解，遍历整个解空间数，对可行解进行计数，很容易就能得出答案。

 

 

解空间示意图如下，程序太简单所以就不多说了。

一共4层节点（前abcd确定了之后e也就确定了），每层最多16个，所以需要遍历的节点数最多也就是60000多个节点，正常情况下运行几个毫秒就运行完了，可以说还算是解决这个问题还不错的方法。（我画图的时候把0给忘了，算了，意思表达出来就行了）

 

好，接下来让我们使用数学的方法来解决这个问题。

首先这个问题等价成以下描述：

我有a,b,c,d,e五种商品若干，现在要从中选出20个商品，问共有多少种选法。

典型的多重集组合问题，直接用其公式C(n+r-1,n)也就是C(20+5-1,5)=C(24,5)即可算出。

完了，搞定！时空复杂度均是O(1)，直接return 一个公式就行了，多么完美。

 

从这个例子我们可以看出数学的力量是多么的大，在编程中用好数学会让我们的编程水平再上一个档次。

 

 

ps：

关于多重集的概念以及其组合公式和推导，请参考相关组合数学书籍或者百度谷歌等，这里只是使用其公式而对多重集本身并不做过多的阐述。

有感兴趣的可以参考：

http://www.baidu.com/s?wd=%B6%E0%D6%D8%BC%AF%D7%E9%BA%CF&rsv_bp=0&rsv_spt=3&rsv_sug3=3&rsv_sug=0&rsv_sug1=2&rsv_sug4=426&inputT=4547