通过有偏概率0/1生成器，生成无偏概率0/1生成器

此题为算法导论第二版，习题5.1-3。原题如下：

5.1-3 假设你希望以各1/2的概率输出0和1。你可以自由使用一个输出0或1的过程BIASED-RANDOM。它以概率p输出1，以概率1-p输出0，其中0 < p < 1，但是你并不知道p的值。给出一个利用BIASED-RANDOM作为子程序的算法，返回一个无偏向的结果，即以概率1/2返回0，以概率1/2返回1。作为p的函数，你的算法的期望运行时间是多少？

要求解此题，可以如下思索：既然我们要构建一个无偏过程，这个过程产生0和1的概率都是1/2，那么就要计算两个事件的概率，我们记这两个事件分别为A和B，其概率为p(A)和p(B)。之后我们利用事件A和事件B分别产生0和1。事件A产生0的概率，我们记为p(0)，事件B产生1的概率，我们记为p(1)。由此，可知下式成立。

p(A)*p(0)=p(B)*p(1)。

我们不妨先考虑最简单的情况，假设p(0)=p(1)，则p(A)必等于p(B)。那么如何产生两个事件A和B，并且这两个事件的概率相等呢？我们设想，运行有偏过程两次，产生11的概率为p*p，产生01的概率为(1-p)*p，产生00的概率为(1-p)*(1-p)，产生10的概率为p*(1-p)。我们可以看到产生01和10的概率是相等的，均为p*(1-p)。我们设产生01为事件A，产生10为事件B，我们已经知道了p(A)=p(B)，那么p(0)是否等于p(1)呢，当A事件发生，假如我们取01序列的第一个数，即为0，此概率为0的概率p(0)=1。同理当B事件发生，假设我们取10序列的第一个数，即为1，此概率为1的概率p(1)=1。 由此我们可以产生下列的算法：

UNBIASED-RANDOMwhile TRUEdox ← BIASED-RANDOMy ← BIASED-RANDOMif x != ythen return x

上面的算法与我们的推理过程略微不同，其思想为利用事件A，也就是x != y来产生0和1。然后，当事件A发生，A产生0和1的概率分别为1/2。当x != y时，概率为p*(1-p) + (1-p)*p，当x != y时，p(0) = p(1) = 1/2。算法一次运行成功的概率为2p*(1-p)，且服从几何分布，其期望值为1/[2p*(1-p)]。