二分图匹配
来源:互联网 发布:切纸机编程使用方法 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 10:03
今天看了很多博客!终于看懂了一点点,想记录一下!
首先你要知道什么是增广路径(虽然我现在还不明白)
这是一种用增广路求二分图最大匹配的算法。它由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出,因而得名。 定义 未盖点:设Vi是图G的一个顶点,如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联,就称Vi 是一个未盖点。
交错路:设P是图G的一条路,如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M,就称P是一条交错路。
可增广路:两个端点都是未盖点的交错路叫做可增广路。
流程图
伪代码实现:bool 寻找从k出发的对应项出的可增广路{ while (从邻接表中列举k能关联到顶点j) { if (j不在增广路上) { 把j加入增广路; if (j是未盖点 或者 从j的对应项出发有可增广路) { 修改j的对应项为k; 则从k的对应项出有可增广路,返回true; } } } 则从k的对应项出没有可增广路,返回false;}void 匈牙利hungary(){ for i->1 to n { if (则从i的对应项出有可增广路) 匹配数++; } 输出 匹配数;}
二分图是一种特殊的图
对于无向图G=(V,E),如果V可以分为两个互不相交的子集(X,Y),并且图中的每条边所依附的两点属于不同的子集,则图G则称为一个二分图,所以二分图也可以记作G(X,E,Y)
边的描述:
e={x,y}
x来自G的顶点集X,y来自G的顶点集Y
我们说e连接顶点x和y,并说x和y与e关联
判断是否为二分图:
定理:一个无向图G=<V,E>是二分图当且仅当G中无奇数长度的回路。
匈牙利算法:
1.对于左边X的每个点,看看右边Y有没有增广路,如果有,那么进行增广,没有就不添加新的匹配。
2.当对最后一个点做完增广路以后,整个图就形成了一个最大匹配。
寻找交错路径(增广路)
图1 图2
1)有奇数条边。
(2)起点在二分图的左半边,终点在右半边。
(3)路径上的点一定是一个在左半边,一个在右半边,交替出现。(其实二分图的性质就决定了这一点,因为二分图同一边的点之间没有边相连,不要忘记哦。)
(4)整条路径上没有重复的点。
(5)起点和终点都是目前还没有配对的点,而其它所有点都是已经配好对的。(如图1、图2所示,[1,5]和[2,6]在图1中是两对已经配好对的点;而起点3和终点4目前还没有与其它点配对。)
(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中,所有第偶数条边都出现在原匹配中。(如图1、图2所示,原有的匹配是[1,5]和[2,6],这两条配匹的边在图2给出的增广路径中分边是第2和第4条边。而增广路径的第1、3、5条边都没有出现在图1给出的匹配中。)
(7)最后,也是最重要的一条,把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去,并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除(这个操作称为增广路径的截断),则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。(如图2所示,新的匹配就是所有蓝色的边,而所有红色的边则从原匹配中删除。则新的匹配数为3。)
【书本上的算法往往讲得非常复杂,我和我的朋友计划用一些简单通俗的例子来描述算法的流程】
匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出,因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想,它是部图匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
-------等等,看得头大?那么请看下面的版本:
通过数代人的努力,你终于赶上了剩男剩女的大潮,假设你是一位光荣的新世纪媒人,在你的手上有N个剩男,M个剩女,每个人都可能对多名异性有好感(-_-||暂时不考虑特殊的性取向),如果一对男女互有好感,那么你就可以把这一对撮合在一起,现在让我们无视掉所有的单相思(好忧伤的感觉),你拥有的大概就是下面这样一张关系图,每一条连线都表示互有好感。
本着救人一命,胜造七级浮屠的原则,你想要尽可能地撮合更多的情侣,匈牙利算法的工作模式会教你这样做:
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一: 先试着给1号男生找妹子,发现第一个和他相连的1号女生还名花无主,got it,连上一条蓝线
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二:接着给2号男生找妹子,发现第一个和他相连的2号女生名花无主,got it
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三:接下来是3号男生,很遗憾1号女生已经有主了,怎么办呢?
我们试着给之前1号女生匹配的男生(也就是1号男生)另外分配一个妹子。
(黄色表示这条边被临时拆掉)
与1号男生相连的第二个女生是2号女生,但是2号女生也有主了,怎么办呢?我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的,这是一个递归的过程)
此时发现2号男生还能找到3号女生,那么之前的问题迎刃而解了,回溯回去
2号男生可以找3号妹子~~~ 1号男生可以找2号妹子了~~~ 3号男生可以找1号妹子
所以第三步最后的结果就是:
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四: 接下来是4号男生,很遗憾,按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子,我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。
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其原则大概是:有机会上,没机会创造机会也要上
楼上讲得很好但是还是没说出来重点,下面我重点讲一下代码:
int find_path(int x){ for(int i=1;i<=m;i++) {//额,这里明确表示只有没被喜欢才可以,如果一个女的喜欢这个男的了?其他的女的不是连if里面的都执行不了了吗?对的! if(!vis[i] && pp[x][i])//如果这个男的没有被访问,且女的喜欢男的 { vis[i]=1;//这个男的就被访问了 if(!map[i] || find_path(map[i]))//注意这个||如果这个男的名花没主那么这个男的的对象就是这个女的!如果名花有主了怎么办? {//就需要用到这个了《find_path(map[i])》找到她的对象,让她再找其他的男的试试!如果return 1了(这里其实是搜索,但是这里简化了!) map[i]=x;//就说明这个女的可以喜欢这个男的了! return 1; } } } return 0;}
请看这里(到底干了什么?)
for(int i=1;i<=w;i++) { memset(vis,0,sizeof(vis)); if(find_path(i)) sum++; }把男的被喜欢权限全部清为0了!妈的,最后才看到!呼啦啦。。。。。算了理解入门了!
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