6、计数

作者：whj95

导读

计数原则 (Counting Principle)

　　乘积法则(Product rule)：只有完成所有子任务（串联）才可结束
　　求和法则(Sum rule)：只要完成任意子任务（并联）即可结束
　　容斥法则(Inclusion‐exclusion Principle)： 所有可能-反面可能
　　

鸽巢原理 (Pigeonhole Principle)

　　广义鸽巢原理公式：求物体N最小个数，能使得k个盒子中某个盒子有r个物体。N=k（r-1）+1

排列与组合

　　区分古典（康托）与推广的排列组合的方法在于对象是否能重复选取(A类)、对象是否有重复元（B类）　　

康托排列与组合 (Permutation and Combination)

　　排列(permutation)： 讲求顺序，如拍照、排名。P(n,r)=n!(n−r)!
　　
　　组合(combination)： 不求顺序。Crn=n!r!(n−r)!
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Crn=C(n,n-r)
　　

推广的排列与组合 (Generalized Permutation and Combination)

重复选取

　　排列(permutation)：允许重复选取的n个物体r排列数排列中，排列数=nr
　　组合(combination)： 允许重复选取的n个物体r组合数组合中，组合数=Crn+r−1

重复元

　　排列(permutation)： 有重复元的n物体中，有n1个、n2个、n3个、n4个重复元，则排列数=
　　
　　

二项式定理 (Binomial Coefficient and Identity)

　　二项式系数： (n+1k)，从n+1个元素中抽出k个组合
　　
　　二项式基本定理：
　　①杨辉/帕斯卡(PASCAL’S IDENTITY)：(nk)=(n−1k−1)+(n−1k) （回想杨辉三角）
　　证明可用组合证明(combinatorial proof)：从n个元素选k个可以看成选择k-1个元素外加某个特定元素+选择除了此元素以外的k个元素；亦可用算数证明(algebraic proof)
　　②范德蒙德(VANDERMONDE’S IDENTITY)：(m+nk)=∑kr=0(mr)*(nk−r)