Functional MRI (second edition) -- 3. Basic Principles of MR Signal Generation(II)

公式解释：

Magnetci Moment μ: 在磁场中所受最大力和B的比。
Angular Momentum J=mωr2———————1
gyromagnetic ratio γ=μJ————-2

ex: 以单个质子为例
μ=IA=qTπr2———————————-3
J=mωr2=m2πr2T—————4
γ=μJ=q2m对于每一种物质是个定量—–8

torque τ⃗ =μ⃗ ×B⃗ ————5
又根据定义τ⃗ =dJ⃗ dt—————-6
得到dJ⃗ dt=μ⃗ ×B⃗ —————7
带入8式得到 dμ⃗ dt=γ(μ⃗ ×B⃗ )———–9
*求解9的过程：
At time 0, μ(0)→=μx0x⃗ +μy0y⃗ +μz0z⃗ .
dμxdt=γμyB
dμydt=−γμxB
dμzdt=0
解得：
μ(t)→=(μx0cosωt+μy0sinωt)x⃗ +(μy0cosωt−μx0sinωt)y⃗ +μz0z⃗ 

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high-energy state和low-energy state之间能量差

反转一个spin需要做功：W=−∫π0τdθ=−∫π0μBsinθdθ=2μB—————————1
Bohr relation: W=ΔE=hv——————-2
由1、2得到
v=ΔEh=2μhB
实验经验数据：一个质子的J在longitudian方向上的分量为h^/2,h^=h/2π———————————-3
所以μ=γJ=γh^2=γh4π———————————–4
4带入3得到：Larmor frequency v=γ2πB
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Pp+Pa=1—————————-1
PpPa=eΔEkBT≈1+ΔEkBT—————————-2
由1、2解得 Pp−Pa≈ΔE2kBT——————–3
所以net magnetization M⃗ =(Pp−Pa)nμzz⃗ =ΔE2kBTnμzz⃗ (n是protons per unit volume)——————————4

dMxdt=γMyB
dMydt=−γMxB
dMzdt=0
解得：
M(t)→=(Mx0cosωt+My0sinωt)x⃗ +(My0cosωt−Mx0sinωt)y⃗ +Mz0z⃗ 

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Excitation
electromagnetic excitation pulse: B1→=B1x⃗ cosωt−B1y⃗ sinωt
后面会使用旋转坐标系，旋转坐标系中的x′→,y′→与实验坐标系中x⃗ ,y⃗ 的关系：
x′→=x⃗ cosωt−y⃗ sinωt———————-1
y′→=x⃗ sinωt+y⃗ cosωt———————–2
在旋转坐标系下：
M⃗ =M0z⃗ 
B1→=B1x′→

由前面我们知道：dM⃗ dt=γM⃗ ×B⃗ ——————-3
由1、2、3可以推出δM⃗ δt=γM⃗ ×B1eff→，其中B1eff=z⃗ (B0−ωγ)+x′→B1→
在on-resonance时，ω=γB0
所以ωrot=γB1eff=γB1
W与x’y’平面的角度θ=γB1T

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Signal reception
electromotive force： emf=−dΦdt (Φ=∫sBds)
Φ=∫sB1¯M(t)dv (B1¯是magneticfield per unit current)
由上两式可得：emf=−iω0∫vB1¯M(t)dv
信号强度与B20成正比，噪声强度与B0成正比，所以信噪比与B0成正比。

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Relaxation
Mz→=M0→(1−e−tT1)
Mxy→=M0→(e−tT2)

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Bloch Equation

dM⃗ dt=γM⃗ ×B⃗ +1T1(M0→−Mz→)−1T2(Mx→+My→)