Functional MRI (second edition) -- 4. Basic Principles of MR Image Formation

Bloch Equation
dM⃗ dt=γM⃗ ×B⃗ +1T1(M0→−Mz→)−1T2(Mx→+My→)————————–1
可以分解为三个标量方程：
dMxdt=MyγB−MxT2————–2
dMydt=−MxγB−MyT2————–3
dMzdt=−(Mz−M0)T1—————-4
求解4得到
Mz=M0(1−e−t/T1)———————5
求解2、3的解为
Mx=(Mx0cosωt+My0sinωt)e−t/T2—————6
My=(−Mx0sinωt+My0cosωt)e−t/T2——————7
写成
Mxy=Mx+iMy=(Mx0+iMy0)e−t/T2(cosωt−isinωt)=Mxy0e−t/T2e−iωt——————8
磁场不是均匀稳定磁场而是
B(τ)=B0+Gx(τ)x+Gy(τ)y+Gz(τ)z————–9
由于ω=γB————-10
得到
Mxy(x,y,z,t)=Mxy0(x,y,z)e−t/T2e−iγB0te−iγ∫t0(Gx(τ)x+Gy(τ)y+Gz(τ)z)dτ
接收到的MR信号为
S(t)=∫x∫y∫zMxy(x,y,z,t)dxdydz
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Slice Selection
ω+−Δω/2=γGz(z+−Δz/2)
一层中的
M(x,y)=∫z0+Δz2z0−Δz2Mxy0(x,y,z)dz
由于已经选取了一层，所以在2D下的信号
S(t)=∫x∫yM(x,y)e−iγ∫t0(Gx(τ)x+Gy(τ)y)dτ

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k-space
定义:
kx(t)=γ2π∫t0Gx(τ)dτ
ky(t)=γ2π∫t0Gy(τ)dτ
所以
S(t)=∫x∫yM(x,y)e−i2πkx(t)xe−i2πky(t)ydxdy
因此S(t)与k之间的关系是2-D傅里叶变换。

Field of view:
FOVx=1Δkx=sampling rate along kx=1γ2π(GxΔt)
FOVy=1Δky=sampling rate along ky=1γ2π(GyΔt)

voxel size:
FOVxMx=1MxΔkx=12kxmax
FOVyMy=1MyΔky=12kymax