leetCode 4. Median of Two Sorted Arrays 解题思路和方法

问题：

Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays nums1 and nums2of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. Theoverall run time complexity should be O(log (m+n)).

解题思路：

此题在开始解答的时候最初想到的就是归并排序，然后返回中值，但是这样的时间复杂度为O(n)，并不满足题意。但是最后提交时，也通过了。

代码如下：

public class Solution {    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {        //用merge的思想对数组排序，然后返回中值。O(n)时间        int len1 = nums1.length;        int len2 = nums2.length;        int i = 0;        int j = 0;        int k = 0;        int[] temp = new int[len1+len2];        while(i < len1 && j < len2){            if(nums1[i] > nums2[j])                temp[k++] = nums2[j++];            else                temp[k++] = nums1[i++];        }        //取剩下的值，此时两数组最多只有1个还有数据        while(i < len1){            temp[k++] = nums1[i++];        }        while(j < len2){            temp[k++] = nums2[j++];        }        //分情况返回中值；k此时为数组长度        if(k%2 == 0){            //这个一定是除以2.0,保证返回double值            return (temp[k/2]+ temp[k/2 - 1])/2.0;        }        else{            return temp[k/2];        }    }}

不过此种方法严格上说并不符合题意，所以在网上搜索的时候，看到了另一种解法，其解法的思想也是比较两个数组，直到找到第k个小的数值（k = (m+n)/2）,这种方法的时间复杂度为O(K)，也即O((m+n)/2)，也是O(n)时间的复杂度。

继续查找，找到如下解法：

最后从medianof two sorted arrays中看到了一种非常好的方法。原文用英文进行解释，在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

最终的代码（别人的c++实现）：

double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k){//always assume that m is equal or smaller than nif (m > n)return findKth(b, n, a, m, k);if (m == 0)return b[k - 1];if (k == 1)return min(a[0], b[0]);//divide k into two partsint pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;if (a[pa - 1] < b[pb - 1])return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);elsereturn a[pa - 1];}class Solution{public:double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n){int total = m + n;if (total & 0x1)return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);elsereturn (findKth(A, m, B, n, total / 2)+ findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;}};