POJ 3169 Layout（差分约束-Bellman-Ford）

Description
当排队等候喂食时，奶牛喜欢和它们的朋友站得靠近些。FJ有N（2<=N<=1000）头奶牛，编号从1到N，沿一条直线站着等候喂食。奶牛排在队伍中的顺序和它们的编号是相同的。因为奶牛相当苗条，所以可能有两头或者更多奶牛站在同一位置上。即使说，如果我们想象奶牛是站在一条数轴上的话，允许有两头或更多奶牛拥有相同的横坐标。
一些奶牛相互间存有好感，它们希望两者之间的距离不超过一个给定的数L。另一方面，一些奶牛相互间非常反感，它们希望两者间的距离不小于一个给定的数D。给出ML条关于两头奶牛间有好感的描述，再给出MD条关于两头奶牛间存有反感的描述。（1<=ML,MD<=10000，1<=L,D<=1000000）
你的工作是：如果不存在满足要求的方案，输出-1；如果1号奶牛和N号奶牛间的距离可以任意大，输出-2；否则，计算出在满足所有要求的情况下，1号奶牛和N号奶牛间可能的最大距离
Input
第一行为三个整数N,ML,MD,之后ML行每行为一条两头奶牛间有好感的描述，三个整数A,B,D,表示奶牛A,B距离不超过D，最后MD行每行一条两头奶牛间存在反感的描述，三个整数A,B,D,表示奶牛A,B距离不小于D
Output
如果不存在满足要求的方案，输出-1；如果1号奶牛和N号奶牛间的距离可以任意大，输出-2；否则，计算出在满足所有要求的情况下，1号奶牛和N号奶牛间可能的最大距离
Sample Input
4 2 1
1 3 10
2 4 20
2 3 3
Sample Output
27
Solution
如果当前问题比较复杂，我们应该学会“退一步”思考，由简单到复杂。
求最大值不知从何下手，我们先从容易的开始分析。我们先研究，如果不要求输出1和N的最大距离，而只需一个可行的距离，应该如何操作。
我们用D[i]表示I号奶牛和1号奶牛间的距离。因为在队伍中的顺序必须和编号相同，所以对于任意I号奶牛，1 <= I < N，在距离上应该满足：D[I+1] - D[I] >= 0
对于每个好感的描述(i，j，k)，假设i<=j，体现到距离上的要求就是：D[j] - D[I] <= k
对于每个反感的描述(i，j，k)，假设i<=j，体现到距离上的要求就是：D[j] - D[I] >= k
这时的模型有一个名称，叫作：差分约束系统。
为了方便起见，我们将每种不等式写成我们约定的形式：
D[I] <= D[I+1]
D[j] <= D[I] + k
D[I] <= D[j] - k
在求顶点间地最短路问题中，我们有这样的不等式：若顶点u到顶点v有边e=uv，且边权为w(e)，设d(u),d(v)为源点到顶点u和顶点v的最短路长，则 d(v) <= d(u) + w(e)
这个不等式和前面的条件形式十分相似，这就启发我们用构图用最短路做。
具体步骤是：
作有向图G=(V,E)，V={ v1，v2，v3，…，vn}，E={e1，e2，e3，…}，对于相邻两点i和(i+1)，对应的顶点vi+1向vi引一条边，费用为0；对于每组好感描述(ai，bi，di)，我们假设有ai < bi，否则ai和bi交换，则顶点vai向vbi引一条边，费用为di；对于每组反感描述(ai，bi，di)，我们假设有ai < bi，否则ai和bi交换，则顶点vbi向vai引一条边，费用为-di。
于是问题变为在G中求v1到其它所有顶点的最短路。我们证明若G中无负权回路，则问题有解，即存在满足条件的数列，若G中有负权回路，则问题无解，即不存在满足条件的数列。
故问题是否有解等价于图G是否没有负权回路。
证明：若G中无负权回路，我们可以求出v1其他顶点u的最短路长，设为d(u)。由于是最短路，因此对于任意边eE，e=uv，有d(u)+w(e)>=d(v)，从而所有的约束条件都被满足，问题一定有解。若G中有负权回路，说明在任何时刻，G中至少有一个点v的最短路长可以更新，因此必须存在一条边e=uv，使得d(u)+w(e) < d(v)。所以无论何时，都会有某个约束条件不被满足，问题无解。
检测负权回路，可以用Bellman-Ford算法。
Code

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>using namespace std;#define INF 1000000000#define maxn 10001int n,ml,md;int al[maxn],bl[maxn],dl[maxn];int ad[maxn],bd[maxn],dd[maxn];int d[maxn];int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&ml,&md);    for(int i=0;i<ml;i++)        scanf("%d%d%d",&al[i],&bl[i],&dl[i]);    for(int i=0;i<md;i++)        scanf("%d%d%d",&ad[i],&bd[i],&dd[i]);    fill(d,d+n,INF);//初始化     d[0]=0;    for(int k=0;k<n;k++)//Bellman-Ford算法     {        for(int i=0;i+1<n;i++)            if(d[i+1]<INF)                d[i]=min(d[i],d[i+1]);        for(int i=0;i<ml;i++)            if(d[al[i]-1]<INF)                d[bl[i]-1]=min(d[bl[i]-1],d[al[i]-1]+dl[i]);        for(int i=0;i<md;i++)            if(d[bd[i]-1]<INF)                d[ad[i]-1]=min(d[ad[i]-1],d[bd[i]-1]-dd[i]);        }    int res=d[n-1];    if(d[0]<0)//存在负权回路         res=-1;    else if(res==INF)//奶牛1到顶奶牛n距离无穷大         res=-2;    printf("%d\n",res);//奶牛1到奶牛n间的最大距离     return 0;}