二分图及其匹配——匈牙利算法

相关概念：

二分图：二分图是这样一个图，它的顶点可以分类两个集合X和Y，所有的边关联的两个顶点恰好一个属于集合X，另一个属于集合Y。

二分图匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
最大匹配：图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
完美匹配：如果所有点都在匹配边上，则称这个最大匹配是完美匹配。

二分图匹配基本概念：

未盖点：设VI是G的一个顶点，如果VI不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称VI是一个未盖点。
交错链：若一条路径上属于M的边和不属于M的边交替出现，则该路径为交错路。

增广路：若路径P是一条起始点和终点都是未盖点的交错链，那么p称为M的增光路。

二分图的最小顶点覆盖（求最少的点，让每条边都至少和其中的一个点关联）=最大匹配。

最小路径覆盖=顶点数-最大匹配

二分图最大匹配匈牙利算法：

算法的思路是不停的找增广路,并增加匹配的个数,增广路顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径,在匹配问题中,增广路的表现形式是一条"交错路",也就是说这条由图的边组成的路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且始点和 终点还没有被选择过.这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是 将所有的边进行"取反",容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错路.可以证 明,当不能再找到增广路时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路。

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<stdlib.h>using namespace std;int map[505][505],vis[505];//vis为寻找增广路径时的标记数组int n,m;int s[505];int find(int a)//寻找从a出发的对应项的增广路{    for(int i=1;i<=m;i++)//从邻接表中列举a能关联到顶点i    {        if(!vis[i]&&map[a][i])//i不在增广路上        {            vis[i]=1;//把i加入增广路            if(!s[i]||find(s[i]))//i是未盖点 或者 从i的对应项出发有可增广路            {                s[i]=a;//修改i的对应项为a                return 1;//则从k的对应项出有可增广路,返回1            }        }    }    return 0;//则从a的对应项出没有可增广路,返回0}int main(){    int t,a,b,ans;    while(scanf("%d",&t)!=EOF)    {        if(t==0) break;        ans=0;        memset(map,0,sizeof(map));        memset(s,0,sizeof(s));        scanf("%d%d",&n,&m);        for(int i=0;i<t;i++)        {            scanf("%d%d",&a,&b);            map[a][b]=1;        }        for(int i=1;i<=n;i++)        {            memset(vis,0,sizeof(vis));            if(find(i))//从i的对应项出去有可增广路                ans++;        }        printf("%d\n",ans);//输出 匹配数;    }    return 0;}