OpenJudge - 2757 : 最长上升子序列

2757:最长上升子序列

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2000ms 

Memory Limit: 

65536kB

Description

一个数的序列b_i，当b₁ < b₂ < ... < b_S的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a₁, a₂, ..., a_N)，我们可以得到一些上升的子序列(a_i1, a_i2, ..., a_iK)，这里1 <= i₁ < i₂ < ... < i_K <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

Input

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

Output

最长上升子序列的长度。

Sample Input

71 7 3 5 9 4 8

Sample Output

4

题解：

1.找子问题“求以ak（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。

2. 确定状态：子问题只和一个变量-- 数字的位置相关。因此序列中数的位置k 就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度。状态一共有N个。

3. 找出状态转移方程：maxLen (k)表示以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度那么：

初始状态：maxLen (1) = 1maxLen (k) = max { maxLen (i)：1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1

若找不到这样的i,则maxLen(k) = 1maxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak ，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小于ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。

参考代码：

#include<stdio.h>#include<string.h>#define max(a,b) a>b?a:bint main(){int n,a[1005],maxlen[1005],max1;while(~scanf("%d",&n)){max1=1;for(int i=1;i<=n;i++){    scanf("%d",&a[i]);    maxlen[i]=1;}        for(int i=2;i<=n;i++)        {        for(int j=1;j<i;j++)        {        if(a[i]>a[j])        {        maxlen[i]=max(maxlen[i],maxlen[j]+1);        }        }        if(max1<maxlen[i])            max1=maxlen[i];        }        printf("%d\n",max1);}return 0;}