hiho一下 连通性·四 点的双连通分量

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描述

小Hi和小Ho从约翰家回到学校时，网络所的老师又找到了小Hi和小Ho。

老师告诉小Hi和小Ho：之前的分组出了点问题，当服务器(上次是连接)发生宕机的时候，在同一组的服务器有可能连接不上，所以他们希望重新进行一次分组。这一次老师希望对连接进行分组，并把一个组内的所有连接关联的服务器也视为这个组内的服务器(注意一个服务器可能属于多个组)。

这一次的条件是对于同一个组满足：当组内任意一个服务器宕机之后，不会影响组内其他服务器的连通性。在满足以上条件下，每个组内的边数量越多越好。

比如下面这个例子，一共有6个服务器和7条连接：

其中包含3个组，分别为{(1,2),(2,3),(3,1)},{(4,5),(5,6),(4,6)},{(3,4)}。对{(1,2),(2,3),(3,1)}而言，和该组边相关联的有{1,2,3}三个服务器：当1宕机后，仍然有2-3可以连接2和3；当2宕机后，仍然有1-3可以连接1和3；当3宕机后，仍然有1-2可以连接1和2。

老师把整个网络的情况告诉了小Hi和小Ho，希望小Hi和小Ho统计一下一共有多少个分组。

输入

第1行：2个正整数，N,M。表示点的数量N，边的数量M。1≤N≤20,000, 1≤M≤100,000

第2..M+1行：2个正整数，u,v。第i+1行表示存在一条边(u,v)，编号为i，连接了u,v两台服务器。1≤u<v≤N

保证输入所有点之间至少有一条连通路径。

输出

第1行：1个整数，表示该网络的连接组数。

第2行：M个整数，第i个数表示第i条连接所属组内，编号最小的连接的编号。比如分为{(1,2)[1],(2,3)[3],(3,1)[2]},{(4,5)[5],(5,6)[7],(4,6)[6]},{(3,4)[4]}，方括号内表示编号，则输出{1,1,1,4,5,5,5}。

样例输入

6 71 21 32 33 44 54 65 6

样例输出

31 1 1 4 5 5 5

提示：点的双连通分量

小Ho：那么我们这一次求的和前一次有什么区别？

小Hi：在上一次中，我们求解的是边的双连通分量，而我们这一次叫做点的双连通分量，其定义为：

对于一个无向图的子图，当删除其中任意一个点后，不改变图内点的连通性，这样的子图叫做点的双连通子图。而当子图的边数达到最大时，叫做点的双连通分量。

小Ho：那和上一次有什么不同么？

小Hi：与前一次的区别在于，可能出现下面这种情况时：

存在两个分组，分别是{(1,2),(2,3),(3,1)},{(3,4),(4,5),(3,5)}。其不能分成一组是因为当3号服务器宕机之后，1,2与4,5便不再连通。

小Ho：感觉好像难了很多？

小Hi：其实也还好啦，这一次的话只需要稍作一下改进就好。

首先我们从上面的例子可以猜到，桥一定是作为一个单独的点的双连通分量。而被桥分割的区域，可能出现两种情况：

第一种情况下，桥两边都各是一个连通分量，那么桥的存在把整个图分成了3个连通分量，桥本身作为一个点的双连通分量，而A,B两个分量还无法判定。在这图中，A,B两点本质都是割点。

第一种情况下，桥一边是连通分量，而另一边是独立的点。桥的存在把整个图分成了2个连通分量，B点部分因为没有边，所以不构成一个组。在这图中，只有A点是割点。

那么我们可以先根据桥，把整个图先分割开来。

在点的双连通分量分量中出现了一种特殊的情况，而产生这种情况是因为在一个边的双连通分量中存在了割点。那么在去掉桥的每一个连通分量中，我们需要再找出割点。

小Ho：简单每存在一个桥就分割一次图，每个连通分量中存在一个割点就分割一次图。

小Hi：是这样的，但其实还可以更近一步考虑，对于桥的两种情况，它分割个区域数刚好就等于割点数+1；而连通分量内的割点同样也是，每存在一个割点，点的双连通分量就增加一个。

小Ho：这样说来，只要统计割点数量，点的双连通分量就等于割点数量加1咯？

小Hi：没错，每存在一个割点，就把一个区域一分为二，所以最后的结果也就是统计割点的数量就可以了。而对于分组具体情况，我们仍然采用栈来辅助我们记录，代码如下(注：官方提示代码有误)：

void dfs(int u) {    //记录dfs遍历次序    static int counter = 0;     //记录节点u的子树数    int children = 0;    ArcNode *p = graph[u].firstArc;    visit[u] = 1;    //初始化dfn与low    dfn[u] = low[u] = ++counter;    for(; p != NULL; p = p->next) {        int v = p->adjvex;        if(edge(u,v)已经被标记) continue;                     // 修改 1        //节点v未被访问，则(u,v)为树边        if(!visit[v]) {            children++;            parent[v] = u;            edgeStack[top++] = edge(u,v); // 将边入栈        // 修改 2            dfs(v);            low[u] = min(low[u], low[v]);            //case (1)            if(parent[u] == NIL && children > 1) {                printf("articulation point: %d\n", u);                // mark edge                // 将边出栈，直到当前边出栈为止，这些边标记为同一个组                do {                    nowEdge = edgeStack[top];                    top--;                    // 标记nowEdge                }   while (nowEdge != edge(u,v))            }            //case (2)            if(parent[u] != NIL && low[v] >= dfn[u]) {                printf("articulation point: %d\n", u);                // mark edge                // 将边出栈，直到当前边出栈为止，这些边标记为同一个组                do {                    nowEdge = edgeStack[top];                    top--;                    // 标记nowEdge                }   while (nowEdge != edge(u,v))            }        }        //节点v已访问，则(u,v)为回边        else if(v != parent[u]) {            edgeStack[top++] = edge(u,v); // 将边入栈        // 修改 3            low[u] = min(low[u], dfn[v]);        }    }}

AC代码：

#include <iostream>#include <stdlib.h>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <queue>#include <algorithm>using namespace std;#define maxn 20100#define maxe 200100struct edge{    int u,v,id;    int next;}Edge[maxe];int dfn[maxn],low[maxn],head[maxe],belong[maxe],parent[maxn],Min[maxe],Stack[maxe],n,m,cnt,Counter,top,ans;void AddEdge(int a,int b,edge *Edge,int *head,int ID){        Edge[cnt].u=a;    Edge[cnt].v=b;    Edge[cnt].id=ID;    Edge[cnt].next=head[a];    head[a]=cnt++;}void dfs(int u){    int v,children=0;    dfn[u]=low[u]=++Counter; // 为节点u设定次序编号和Low初值    for (int i=head[u]; i!=-1; i=Edge[i].next) // 枚举每一条边    {        v=Edge[i].v;        if(belong[Edge[i].id]!=-1)        {            continue;        }        if(!dfn[v])    // 如果节点v未被访问过        {            children++;            parent[v]=u;            Stack[++top]=Edge[i].id;            dfs(v); // 继续向下找            low[u]=min(low[u],low[v]);            if(( low[v]>=dfn[u] && parent[u]!=-1)|| (parent[u]==-1 && children>1)) //割点充要条件            {                                ans++;                int min=100000000;                int k;                do                {                    k=Stack[top--];                    belong[k]=ans;  //该边所属分组                    if(k<min)                    {                        min=k;                    }                                    }while(k!=Edge[i].id);                Min[ans]=min;       //该组最小连接编号                            }                    }        else if(v!=parent[u])       //回边（v是u的祖先结点）        {                       Stack[++top]=Edge[i].id;            low[u]=min(low[u],dfn[v]);        }    }}void Init() //初始化{    cnt=0;    Counter=0;    ans=0;    top=-1;    memset(head, -1, sizeof(head));    for (int i=0; i<=n; i++)    {        dfn[i]=0;        parent[i]=-1;                    }    for (int i=0; i<=m; i++)    {        Min[i]=1;        belong[i]=-1;    }    }int main(){    int u,v;        scanf("%d%d",&n,&m);    Init();    for (int i=1; i<=m; i++)    {        scanf("%d%d",&u,&v);        AddEdge(u,v,Edge,head,i);        AddEdge(v,u,Edge,head,i);            }    dfs(1);        int k,min=100000000;    ans++;    while (top!=-1) //栈未空，继续处理    {        k=Stack[top--];        belong[k]=ans;  //该边所属分组        if(k<min)        {            min=k;        }    }    Min[ans]=min;    printf("%d\n",ans);    for (int i=1; i<=m; i++)    {               printf("%d ",Min[belong[i]]);    }    return 0;}

其实限制条件可以这样改：

if(low[v]>=dfn[u]) //割点充要条件

这样退出dfs后，栈就为空了，不用在单独处理一组数据了。