POJ 1286-Necklace of Beads(Polya计数)

来源：互联网发布：淘宝企业店铺税收问题编辑：程序博客网时间：2024/05/23 18:52

题目地址：POJ 1286

题意：n个珠子串成一个圆，用三种颜色去涂色。问一共有多少种不同的涂色方法(不同的涂色方法被定义为：如果这种涂色情况翻转，旋转不与其他情况相同就为不同。)

思路：Polya定理第一发，这道题其实就是一个最简单的板子题。要想明白Polya定理首先要知道置换，置换群和轮换的概念，可以参考这里(用例子很好理解)。

项链可以进行旋转和翻转。

翻转：如果n是奇数，则存在n中置换，每种置换包含n/2+1种循环(即轮换)。

如果n是偶数，如果对称轴过顶点，则存在n/2种置换，每种置换包含n/2种循环(即轮换)

如果对称轴不过顶点，则存在n/2种置换，每种置换包含n/2+1种循环(即轮换)

旋转：n个点顺时针或者逆时针旋转i个位置的置换，轮换个数为gcd(n,i)

#include <stdio.h>#include <math.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>#include <iostream>#include <sstream>#include <algorithm>#include <set>#include <queue>#include <stack>#include <map>//#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const double pi= acos(-1.0);const double esp=1e-6;LL gcd(LL a,LL b) {    while(b!=0) {        LL r=b;        b=a%b;        a=r;    }    return a;}LL modxp(LL a,LL b) {    LL res=1;    while(b!=0) {        if(b&1) res*=a;        a=a*a;        b>>=1;    }    return res;}int main() {    LL n,i;    LL ans;    while(~scanf("%lld",&n)) {        if(n==-1) break;        if(!n){            puts("0");            continue;        }//不要掉了这种情况        ans=0;        for(i=1; i<=n; i++)            ans+=modxp(3,gcd(n,i));        if(n&1) {            ans+=modxp(3,n/2+1)*n;        } else {            ans+=modxp(3,n/2+1)*(n/2);            ans+=modxp(3,n/2)*(n/2);        }        printf("%lld\n",ans/(n*2));    }    return 0;}

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