经典算法题每日演练——第十题 树状数组
来源:互联网 发布:linux系统添加用户组 编辑:程序博客网 时间:2024/05/28 17:07
有一种数据结构是神奇的,神秘的,它展现了位运算与数组结合的神奇魅力,太牛逼的,它就是树状数组,这种数据结构不是神人是发现不了的。
一:概序
假如我现在有个需求,就是要频繁的求数组的前n项和,并且存在着数组中某些数字的频繁修改,那么我们该如何实现这样的需求?当然大家可以往
真实项目上靠一靠。
① 传统方法:根据索引修改为O(1),但是求前n项和为O(n)。
②空间换时间方法:我开一个数组sum[],sum[i]=a[1]+....+a[i],那么有点意思,求n项和为O(1),但是修改却成了O(N),这是因为我的Sum[i]中牵
涉的数据太多了,那么问题来了,我能不能在相应的sum[i]中只保存某些a[i]的值呢?好吧,下面我们看张图。
从图中我们可以看到S[]的分布变成了一颗树,有意思吧,下面我们看看S[i]中到底存放着哪些a[i]的值。
S[1]=a[1];
S[2]=a[1]+a[2];
S[3]=a[3];
S[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
S[5]=a[5];
S[6]=a[5]+a[6];
S[7]=a[7];
S[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];
之所以采用这样的分布方式,是因为我们使用的是这样的一个公式:S[i]=a[i-2k+1]+....+a[i]。
其中:2k 中的k表示当前S[i]在树中的层数,它的值就是i的二进制中末尾连续0的个数,2k也就是表示S[i]中包含了哪些a[],
举个例子: i=610=01102 ;可以发现末尾连续的0有一个,即k=1,则说明S[6]是在树中的第二层,并且S[6]中有21项,随后我们求出了起始项:
a[6-21+1]=a[5],但是在编码中求出k的值还是有点麻烦的,所以我们采用更灵巧的Lowbit技术,即:2k=i&-i 。
则:S[6]=a[6-21+1]=a[6-(6&-6)+1]=a[5]+a[6]。
二:代码
1:神奇的Lowbit函数
1 #region 当前的sum数列的起始下标 2 /// <summary> 3 /// 当前的sum数列的起始下标 4 /// </summary> 5 /// <param name="i"></param> 6 /// <returns></returns> 7 public static int Lowbit(int i) 8 { 9 return i & -i;10 }11 #endregion
2:求前n项和
比如上图中,如何求Sum(6),很显然Sum(6)=S4+S6,那么如何寻找S4呢?即找到6以前的所有最大子树,很显然这个求和的复杂度为logN。
1 #region 求前n项和 2 /// <summary> 3 /// 求前n项和 4 /// </summary> 5 /// <param name="x"></param> 6 /// <returns></returns> 7 public static int Sum(int x) 8 { 9 int ans = 0;10 11 var i = x;12 13 while (i > 0)14 {15 ans += sumArray[i - 1];16 17 //当前项的最大子树18 i -= Lowbit(i);19 }20 21 return ans;22 }23 #endregion
3:修改
如上图中,如果我修改了a[5]的值,那么包含a[5]的S[5],S[6],S[8]的区间值都需要同步修改,我们看到只要沿着S[5]一直回溯到根即可,
同样它的时间复杂度也为logN。
1 public static void Modify(int x, int newValue) 2 { 3 //拿出原数组的值 4 var oldValue = arr[x]; 5 6 for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1)) 7 { 8 //减去老值,换一个新值 9 sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue;10 }11 }
最后上总的代码:
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