经典算法题——第十题 树状数组

有一种数据结构是神奇的，神秘的，它展现了位运算与数组结合的神奇魅力，太牛逼的，它就是树状数组，这种数据结构不是神人是发现不了的。

一：概序

     假如我现在有个需求，就是要频繁的求数组的前n项和，并且存在着数组中某些数字的频繁修改，那么我们该如何实现这样的需求？当然大家可以往

真实项目上靠一靠。

① 传统方法：根据索引修改为O(1)，但是求前n项和为O(n)。

②空间换时间方法：我开一个数组sum[]，sum[i]=a[1]+....+a[i]，那么有点意思，求n项和为O(1)，但是修改却成了O(N)，这是因为我的Sum[i]中牵

                         涉的数据太多了，那么问题来了，我能不能在相应的sum[i]中只保存某些a[i]的值呢？好吧，下面我们看张图。

从图中我们可以看到S[]的分布变成了一颗树，有意思吧，下面我们看看S[i]中到底存放着哪些a[i]的值。

S[1]=a[1];

S[2]=a[1]+a[2];

S[3]=a[3];

S[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];

S[5]=a[5];

S[6]=a[5]+a[6];

S[7]=a[7];

S[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];

之所以采用这样的分布方式，是因为我们使用的是这样的一个公式：S[i]=a[i-2^k+1]+....+a[i]。

其中：2^k 中的k表示当前S[i]在树中的层数，它的值就是i的二进制中末尾连续0的个数，2^k也就是表示S[i]中包含了哪些a[]，

举个例子:  i=6₁₀=0110₂ ；可以发现末尾连续的0有一个，即k=1，则说明S[6]是在树中的第二层，并且S[6]中有2¹项，随后我们求出了起始项：

            a[6-2¹+1]=a[5]，但是在编码中求出k的值还是有点麻烦的，所以我们采用更灵巧的Lowbit技术，即：2^k=i&-i 。

           则：S[6]=a[6-2¹+1]=a[6-(6&-6)+1]=a[5]+a[6]。

二：代码

1:神奇的Lowbit函数

#region 当前的sum数列的起始下标        /// <summary>        /// 当前的sum数列的起始下标        /// </summary>        /// <param name="i"></param>        /// <returns></returns>        public static int Lowbit(int i)        {            return i & -i;        }        #endregion

2:求前n项和

     比如上图中，如何求Sum(6)，很显然Sum(6)=S₄+S_6，那么如何寻找S4呢？即找到6以前的所有最大子树，很显然这个求和的复杂度为logN。

#region 求前n项和        /// <summary>        /// 求前n项和        /// </summary>        /// <param name="x"></param>        /// <returns></returns>        public static int Sum(int x)        {            int ans = 0;            var i = x;            while (i > 0)            {                ans += sumArray[i - 1];                //当前项的最大子树                i -= Lowbit(i);            }            return ans;        }        #endregion

3：修改

如上图中，如果我修改了a[5]的值，那么包含a[5]的S[5]，S[6]，S[8]的区间值都需要同步修改,我们看到只要沿着S[5]一直回溯到根即可，

同样它的时间复杂度也为logN。

public static void Modify(int x, int newValue)        {            //拿出原数组的值            var oldValue = arr[x];            for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1))            {                //减去老值，换一个新值                sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue;            }        }

using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;using System.Diagnostics;using System.Threading;using System.IO;namespace ConsoleApplication2{    public class Program    {        static int[] sumArray = new int[8];        static int[] arr = new int[8];        public static void Main()        {            Init();            Console.WriteLine("A数组的值:{0}", string.Join(",", arr));            Console.WriteLine("S数组的值:{0}", string.Join(",", sumArray));            Console.WriteLine("修改A[1]的值为3");            Modify(1, 3);            Console.WriteLine("A数组的值:{0}", string.Join(",", arr));            Console.WriteLine("S数组的值:{0}", string.Join(",", sumArray));            Console.Read();        }        #region 初始化两个数组        /// <summary>        /// 初始化两个数组        /// </summary>        public static void Init()        {            for (int i = 1; i <= 8; i++)            {                arr[i - 1] = i;                //设置其实坐标：i=1开始                int start = (i - Lowbit(i));                var sum = 0;                while (start < i)                {                    sum += arr[start];                    start++;                }                sumArray[i - 1] = sum;            }        }        #endregion        public static void Modify(int x, int newValue)        {            //拿出原数组的值            var oldValue = arr[x];            arr[x] = newValue;            for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1))            {                //减去老值，换一个新值                sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue;            }        }        #region 求前n项和        /// <summary>        /// 求前n项和        /// </summary>        /// <param name="x"></param>        /// <returns></returns>        public static int Sum(int x)        {            int ans = 0;            var i = x;            while (i > 0)            {                ans += sumArray[i - 1];                //当前项的最大子树                i -= Lowbit(i);            }            return ans;        }        #endregion        #region 当前的sum数列的起始下标        /// <summary>        /// 当前的sum数列的起始下标        /// </summary>        /// <param name="i"></param>        /// <returns></returns>        public static int Lowbit(int i)        {            return i & -i;        }        #endregion    }}