51. N-Queens

此题是经典的递归回溯题目，有很多种解法，这里只介绍两种不太常见的解法。

解法1、非递归版本

class Solution {private:    vector<vector<string> > res;public:    vector<vector<string> > solveNQueens(int n) {        vector<int> state(n, -1); //注意vector的这种初始化方法        for(int row = 0, col; ;)        {            for(col = state[row] + 1; col < n; col++) //从上一次放置的位置后面开始放置            {                if(isValid(state, row, col))                {                    state[row] = col;                    if(row == n-1) //找到了一个解,继续试探下一列                    {                        vector<string>tmpres(n, string(n,'.')); // 注意vector的这种初始化方法，可以嵌套着进行。                        for(int i = 0; i < n; i++)                            tmpres[i][state[i]] = 'Q';                        res.push_back(tmpres);                    }                    else {row++; break;} //当前状态合法，去放置下一行的皇后                }            }            if(col == n) //当前行的所有位置都尝试过，回溯到上一行            {                if(row == 0)break; //所有状态尝试完毕，退出                state[row] = -1; //回溯前清除当前行的状态                row--;            }        }        return res;    }         //判断在row行col列位置放一个皇后，是否是合法的状态    //已经保证了每行一个皇后，只需要判断列是否合法以及对角线是否合法。    bool isValid(vector<int> &state, int row, int col)    {        for(int i = 0; i < row; i++)//只需要判断row前面的行，因为后面的行还没有放置            if(state[i] == col || abs(row - i) == abs(col - state[i])) //注意abs函数可以直接使用                return false;        return true;    }};

解法2、位运算

class Solution {private:    vector<vector<string> > res;    int upperlim;public:    vector<vector<string> > solveNQueens(int n) {        upperlim = (1 << n) - 1; //低n位全部置为1        vector<string> cur(n, string(n, '.'));        helper(0,0,0,cur,0);        return res;    }         void helper(const int row, const int ld, const int rd, vector<string>&cur, const int index)    {        int pos, p;        if ( row != upperlim )        {            pos = upperlim & (~(row | ld | rd )); //pos中二进制为1的位，表示可以在当前行的对应列放置皇后            //和upperlim与运算，主要是ld在上一层是通过左移位得到的，它的高位可能有无效的1存在，这样会清除ld高位无效的1            while ( pos )            {                p = pos & (~pos + 1); //获取pos最右边的1,例如pos = 010110，则p = 000010                pos = pos - p; //pos最右边的1设置为0                setQueen(cur, index, p, 'Q'); //在当前行，p中1对应的列放置皇后                helper(row | p, (ld | p) << 1, (rd | p) >> 1, cur, index+1); //设置下一行                setQueen(cur, index, p, '.');            }        }        else//找到一个解            res.push_back(cur);    }         //第row行，第loc1(p)列的位置放置一个queen或者清空queen，loc1(p)表示p中二进制1的位置    void setQueen(vector<string>&cur, const int row, int p, char val)    {        int col = 0;        while(!(p & 1))        {            p >>= 1;            col++;        }        cur[row][col] = val;    }};

这个算法主要参考博客N皇后问题的两个最高效的算法，主要看helper函数，参数row、ld、rd分别表示在列和两个对角线方向的限制条件下，当前行的哪些地方不能放置皇后。如下图:

 

前三行放置了皇后，他们对第3行（行从0开始）的影响如下:

（1）列限制条件下，第3行的0、2、4列（紫色线和第3行的交点）不能放皇后，因此row = 101010

（2）左对角线限制条件下，第3行的0、3列（蓝色线和第3行的交点）不能放皇后，因此ld = 100100

（3）右对角线限制条件下，第3行的3、4、5列（绿色线和第3行的交点）不能放皇后，因此rd = 000111

~(row | ld | rd) = 010000，即第三行只有第1列能放置皇后。

在3行1列这个位置放上皇后，row，ld，rd对下一行的影响为：

row的第一位置1，变为111010

ld的第一位置1，并且向左移1位（因为左对角线对行的影响是依次向左倾斜的），变为101000

rd的第一位置1，并且向右移1位（因为右对角线对行的影响是依次向右倾斜的），变为001011

 

第4行状态如下图