一阶谓词逻辑系统的一个扩充

一阶谓词逻辑系统的一个扩充

杨安洲（北京工业大学）

    摘要：本文引进了一个新的系统，它是通常的一阶谓词逻辑系统的一个扩充 。这个系统中没有紧性、类似于紧性的性质，可是它有推理的简化规则成立。对证明定理时，引进了关于覆盖的新方法，证明了关于推理的可简化规则有时还能成立。

     关键词：一阶谓词逻辑系统，解释与模型 ，覆盖，语义与语法推理规则 .

     中图分类号：B 0141 .  MR(2010) Subject Classification 03Bxx ,03Gxx . 

   本文是通常的一 阶谓词逻辑系统的一个扩充（或推广），对一些定理给出了证明 ，也给出了新的语法推理规则使得对它们的可靠性、完全性的证明一下子得到一起的证明 ，虽然在系统中没有广义的紧致性（似紧性）定理成立 ，可是有简化的推理规则成立，从而对推理有了更深的、新的认识，在文末有一个说明 ，对它作出应有的回观。对集合论语言可参看[1] ,对集论要有序数、基数、AC、GCH等等，对已有的逻辑系统可参看[2]、[3] .                                                                                                                                                                                                              论域（定义域 、宇 宙）：任给一个非空集 D 都可以作为论域 。对论域 D 上的从 Dn（n 次笛卡尔乘积） 到 {真（T、1), 假  (F、0）}上的任一函数叫做谓词 ，而这样的所有的函数叫做 秩为有限的n的谓词变元 ，记为 P（ ， ，， ...）,而每一空位上可代入的是个体变元等等。对秩为无穷（空位数为无穷）的谓词变元记为 P （ ， ， ...， ， ，......）等等 ，在下面的考虑中可以 只考虑到秩小于、等于 ALEPH-N的情形 ，谓词变元的个数是ALEPH-N，连结词有： 对变元取值为 1、0 （真、假）的函数 MAX{P1，P2}记 作（P1∨P2），MIN{P1，P2}记作 （P1∧P2），以及{P1,P2,...Pn,.....}的最大值与最小值记为∨（P1，P2，......）与∧（P1，P2，......），以及  {Pi: i在I 中} 的最大值与最小值记为∨{Pi:i 在 I中}与 ∧{Pi:i 在I中}，I 是一个给定无穷基数为ALEPH-N的集 ，叫做ALEPH-N个项（公式)的析取与合取；对变元P作 （1-P），记为（∽P），还有对从D到{1，0}上的函数 P（X ，......）的值集{ P（X，......）：X在D中取值 }的最大值与最小值记为  EX（P（X，......））与 AX（P（X，......）)，其中的个体变元X被称为是约束的（或约束出现）.个体变元、有自由的、与约束的 ，它们是一一对应的 ， 有个体常元也可以没有，个体变元有ALEPH-N个，秩为≤ALEPH-N 的 谓词变元有ALEPH-N 个，还可能有函数变元符号，或者可以是没有的，等号也是可有、可无的，但是要有括号 （,） 。现在引进一个系统 ，简记为 L（1，3）：                                                                           从谓词变元中空位的地方代入自由个体变元之后得到原子公式，然后再用连接词、量词作用得到的表达式 ，把原子公式与它们放在一起作成L（1，1) ，即 从原子公式集出发经连接词、量词作用下得到的最小的封闭集 ，记为 L（1，1）；从L（1，1）出发用ALEPH-N项 的合取、析取（以及“否定”）作出所有的表达式，与 L（1，1）合在一起组成 L1；用同样的办法作出L2，...,Ln ,.....它们是递增的，作它们的并集 ，得到Lω0 ；然后接着做 ，直到 ω（N+1）步完成，得到的，L（ ω（N+1）），记为 L（1，3）.                                                     然后对所有的谓词变元对应到D 上的同秩的关系 ，关系是从定义域D 到 {0，1}上的函数 ，自由变元对应到D 中的元素 ，给一个这样的对应叫做对谓词变元、自由变元的一个解释 I；在对任一公式用任一解释I代入后可得到值为 1、或 0 ，这样就可把公式看成是定义在所有的解释到{1,0}上 的函数了.     对L（1，3）中的 任 一公 式 集 F ，若有一个 解 释 I 使 得 对 F中 的任一 公 式 f 用 I 代 入 后 都有 值 为 1（真、T），则 称 I 为 F 的 一个模型，或称 I 为 使 F 得到满 足；对 F 若有 F 的 模 型 存 在 ，则称 F 是可满足的、或协调的 。对公式集 F 可作出它的对应 ，对应到它的所有的模型所做成的集去 ，记为 MODEL（F）= { I: I是 F 的模型 }, 永假 公 式 对应到 空 集 ，永真公式对应到由所有的解释所做成的集。语义推理的定义如下：若对公式集 F    与 公式 g 有 MODEL（F）被包含于 MODEL（g）中，则 称 为 F 可语义地推出 g ,  记为 F ∣= g , CN(F)=   { g: F∣= g },CN 是 闭 包 算 子 。    公式集 F 可同时推出一个公式g 以及它的否定(∽g)，则称 F 是矛盾的；F 是不矛盾的当且仅当 F是协调的(F是可满足的）。   对 系 统 L（1，3）， 由任一解释 I代入公式成为从 L（1，3）到 {0,1}的 同态对应，这个同态对应的壳（HULL）是 {g : g 是 L（1，3）中的公式且在 I 代入g 后其値为1 },记为 HULL（I），它是把 L（1，3）分为 两个互补的子集 ，一个是 HULL（I），以及它的 补集 L（1，3）- HULL（I）= { g: (∽g)εHULL(I)}。在有一些系统中没有紧性、类似性的性质 ，可 举例如下 ： ∧{ (fi∨∽fi):iε F & F的基数为ALEPH-（N）}，∽(f0go∧f1gi∧...∧figi ∧......),其中的figi是{fi,∽fi} 中的一个原子公式，g是从ω（N）到 {0,1}的函数 ，有ω（N+1）个（或叫做ALEPH-(N+1)个），把这些放在一起组成一个集 ，记为F, 则这个F有性质：F 的基数为ALEPH-（N+1），F中的任一具有基数为ALEPH-N的子集F1都是可以满足的（协调的） ，但是 F 是不可满足的 （不协调的）。可是在L（1，3 ）中有推理的简化规则成立 ：在L（1，3 ）中 ，若F是具有基数为ALEPH-（N+1）的L（1，3）的任一子集，并且F 是可满足的（协调的），g是公式 ,则有 F∣= g  当且仅当 在F 中有具有基数为ALEPH-N的子集F1 也有F1∣= g .(对它所作的说明：若F 是不协调的 ，则这个推理的简化规则是不成立的) .在证明它之前 ，先要证一个引理。为此 ，先要引进覆盖的定义等概念以及它的性质 。覆盖的定义：假如公式s 的MODEL（s）被包含在公式集的MODEL（f）（fεF）的并中的话 ,则称 F 盖住了s . 对任一f εL（1，3）,总有L（1，1）中的子集S1，S1的基数≤ALEPH-N，使得S1盖住了f,这个性质要用超穷归纳法来证明，f在L（1，1）中时是显然的 ，若对f来说有序数α，fεL(α+1),f是ALEPH-N之合取 ，对f的 合取项用归纳假设即知成立，对f是ALEPH-N之并时 ，对f的每一析取项都用归纳的假设也知它成立了（证完）。有了这些之后 ，就能来证明：从F∣= g 出发，先有 MODEL（F）= ∩  {MODEL(f):fε F}被包含在 MODEL（g）中,作补集并反转被包含关系，得到MODEL（∽g）被包含在 ∪{MODEL(∽f):fε F}中 ，∽g被集合{∽f: fεF}所盖住 . 现在对任 IεMODEL（∽g）,找到 ∽f1 ,f1εF 使得 IεMODEL（∽f1）,然后找到L（1，1）中的公式sεL(1,1)使得 IεMODEL（s）,由所有这样的 s所组成一个集S ，S 是 L（1，1）中的一个子集 ，所以有S的基数≤ALEPH-N；现从S 出发 ，对sεS 作 M =（MODEL（s）∩MODEL（∽g））≠ 空集，从M 中取 I使得 ，从I 找到一个 f1 εF使得I ε MODEL（∽f1）,这样的所有的f1组成一个集F1就是所要求的，F1的基数≤ALEPH-N ，F1│= g ( 证完）。从这个定理可规定L（1，3）的语法推理规则如下：从公式集F 出发 ，从F中任取ALEPH-N个公式集F1作出的( ∧{fi:fiεF1} )∨g = h   记为 F∣- h    (即为从F 语法地推出 h ) ,它的可靠性、完全性是显然的一下子就能看到的（得到的）; 只从永真公式”作取补并逆转被包含关系而得到的关系 ，它当然与推出关系是紧密相关的 ）来研究推理 ，这是前人所没有提出过的.                                                     References:  

[1]. Hausdorff,F., Set theory (English translation), New York,Chelsea 1957 

[2]. Monk,J.D. ,Mathematical Logic,Springer-Verlag ,New York- Heidelberk- Berlin ,1976 . [3].H.-D.Ebbinghaus ,Extended Logics ,see Model-Theoretic Logics ,Edited by J.Barwise and S. Feferman ,part A.,Ch.II,pp.25-76 .                                                    收稿日期：2015-7-？。作者简介：杨安洲（1938- ），男，上海崇明人，1955-1960 北京大学数学系，1960-1998 北京工业大学数学系，数学教授，1999年起 退休在家。研究方向：集合论，代数、拓扑，数学基础与数理逻辑。                    英文标题等：An Enlargement of the first-order logical system,   Yang An-Zhou （杨安洲） .E-Mail address :真公式出发得到的是 ∣- (f∨∽f)∨g  ( =h ).(注 ：对语法推理规则也可用超穷序列的办法给出的，当然它们是等价的 .） 。                                              若公式集F 中公式的个数（F的基数）F≦ALEPH-（N+1） ，且 F 是可满足的 ，则一定有一个解释 I 其论域的基数为ALEPH-（N+1）使得I成为 F 的模 型,对它的证明为如下：由 F出发可扩充到一个是壳 （HULL）H去，由 H 可得到的I就是所要求的 模型 。对 L（1，3）中任意两个公式f 与g 若对任意的 解释都有相同的真假值 ，则记为 f=g (在任一解释 I 下） ，则这个“ =”是一个等价关系。对 L (1，3)中任两个公式 f与 g ,f=g(在任一解释I下）当且仅当 f=g (在论域的基数为ALEPH-（N+1）的任一解释 I1下），其证明用反证法 ，若不等  “≠” ，则有f∧(∽g) （或（( ∽f)∧g））是可满足的 ，则存在有论域的基数为ALEPH-（N+1）的解释 I使得它为 1 ，在I下 f 与g 的真假值不同 ，与原来的假定相矛盾 ，所以有 f=g(在任一解释 I下），反过来必要条件是显然的 。永假（永真）公式只要在论域的基数为ALEPH-（N+1）上的解释而言就可以了 。 一个说明：这里的系统与所得的结果都是新的，若对2015年以前来说的话。在本文中的定义等方面的陈述与已有的文献（例如[2]等）有些地方是有些不同的 （ 见[2] ) ,并且引进了新的方法（例如公式的覆盖 ，它的实质是对“推出关系

[e-mail]  .  Abstract. An Enlargement of the first-order logical systemare prefered .   Key words  First-order logical system,interpretation and model ,covering of formula ,semantic inference and synthetic inference .