HDU 4983 Goffi and GCD（数列、欧拉函数）

Goffi and GCD

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Problem Description

Goffi is doing his math homework and he finds an equality on his text book: gcd(n−a,n)×gcd(n−b,n)=nk.

Goffi wants to know the number of (a,b) satisfy the equality, if n and k are given and 1≤a,b≤n.

Note: gcd(a,b) means greatest common divisor of a and b.

 

Input

Input contains multiple test cases (less than 100). For each test case, there's one line containing two integers n and k (1≤n,k≤109).

 

Output

For each test case, output a single integer indicating the number of (a,b) modulo 109+7.

 

Sample Input

2 13 2

 

Sample Output

21
Hint
For the first case, (2, 1) and (1, 2) satisfy the equality.
 

 

Source

BestCoder Round #6

 

题目大意：给出一组n和k，求解满足公式：gcd(n-a,n)*gcd(n-b,n)=n^k的(a,b)的对数，结果对(1e9+7)取模。

先证明：对于1<=x<=n，有gcd(n-x , n) = gcd(x , n) 。

假设gcd(n-a , n) = x（1<=a<=n），则x是(n-a)和n的最大公约数，所以存在整数k1，k2（并且k1<k2，而且

gcd(k1,k2)=1即k1和k2没有除1以外的公约数）使得n-a=k1*x，n=k2*x；那么a=n-k1*x=k2*x-k1*x=(k2-k1)*x，则

gcd(a,n)=gcd((k2-k1)*x,n)=gcd((k2-k1)*x,k2*x)。那么gcd((k2-k1)*x,k2*x)是否等于x呢？？？

因为k1与k2没有除1以外的公约数，所以对任意的i（i>1）都有k2!=k1*i，则（k2-k1）与k2没有除1以外的公约数。

所以gcd(a,n)=gcd((k2-k1)*x,k2*x)=x=gcd(n-a , n)，同理gcd(b,n)=gcd(n-b,n)

解题思路：gcd(n-a,n)*gcd(n-b,n)=n^k可以化为gcd(a,n)*gcd(b,n)=n^k。

对于任意的gcd(x,y)<=max(x,y)，则对于公式：gcd(a,n)*gcd(b,n)=n^k，

因为1<=a,b<=n，所有我们有gcd(a,n)<=n，gcd(b,n)<=n。所以gcd(a,n)*gcd(b,n)<=n^2，则

当n=1时，原公式只有1解；

当k>2时，原公式无解；

当k=2时，只有a=b=n时，gcd(a,n)=n，gcd(b,n)=n，gcd(a,n)*gcd(b,n)=n^2，即原公式只有1解；

当k=1时，就是求gcd(a,n)*gcd(b,n)=n，如果gcd(a,n)=x，则gcd(b,n)=n/x，这里只要枚举x，求n/x即可。x是a和n的最

大公约数，那么x就是n的因数，因此枚举n的因数就可以了。对于每一个x可能会有多个a（1<=a<=n）存在，使得

gcd(a,n)=x，假设存在ma个；那么对于每一个n/x，同样会有多个b（1<=b<=n）存在，使得gcd(b,n)=n/x，假设存在

mb个（对于ma，mb的求解可以用欧拉函数求解？？？？？）。那么对于一个x，如果x*x!=n，那么就存在2*ma*mb

对结果，如果x*x==n，那么就存在ma*mb对结果。

代码如下：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cmath>#include <ctime>#include <iostream>#include <algorithm>#include <string>#include <vector>#include <deque>#include <list>#include <set>#include <map>#include <stack>#include <queue>#include <numeric>#include <iomanip>#include <bitset>#include <sstream>#include <fstream>#include <limits.h>#define debug "output for debug\n"#define pi (acos(-1.0))#define eps (1e-6)#define inf (1<<28)#define sqr(x) (x) * (x)#define mod 1000000007using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ULL;long long n,k;//欧拉函数long long euler(long long x){    long long i,res=x;    for(i=2;i*i<=x;i++)    {        if(x%i==0)        {            res=res/i*(i-1);            while(x%i==0)                x=x/i;        }    }    if(x>1)        res=res/x*(x-1);    return res;}int main(){    long long i,sum;    while(scanf("%I64d%I64d",&n,&k)!=EOF)    {        if(n==1)//        {            printf("1\n");            continue;        }        if(k>2)//        {            printf("0\n");            continue;        }        if(k==2)//        {            printf("1\n");        }        else//当k=1时        {           sum=0;           //枚举n的因数            for(i=1;i*i<=n;i++)            {                if(n%i==0)                {                    if(i*i==n)//                        sum+=euler(n/i)*euler(i);                    else//                        sum+=2*euler(n/i)*euler(i);                    sum%=mod;                }            }            printf("%I64d\n",sum);       }    }    return 0;}