树状数组

树状数组在区间求和问题上有大用，其三种复杂度都比线段树要低很多……有关区间求和的问题主要有以下三个模型（以下设A[1..N]为一个长为N的序列，初始值为全0）：

（1）“改点求段”型，即对于序列A有以下操作：

【1】修改操作：将A[x]的值加上c；

【2】求和操作：求此时A[l..r]的和。

这是最容易的模型，不需要任何辅助数组。树状数组中从x开始不断减lowbit(x)（即x&(-x)）可以得到整个[1..x]的和，而从x开始不断加lowbit(x)则可以得到x的所有前趋。代码：

void ADD(int x, int c)
{
     for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) a[i] += c;
}
int SUM(int x)
{
    int s = 0;
    for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) s += a[i];
    return s;
}

 

操作【1】：ADD(x, c);

操作【2】：SUM(r)-SUM(l-1)。

（2）“改段求点”型，即对于序列A有以下操作：

【1】修改操作：将A[l..r]之间的全部元素值加上c；

【2】求和操作：求此时A[x]的值。

这个模型中需要设置一个辅助数组B：B[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少（或者可以说成，到目前为止的所有ADD(i, c)操作中c的总和）。

则可以发现，对于之前的所有ADD(x, c)操作，当且仅当x>=i时，该操作会对A[i]的值造成影响（将A[i]加上c），又由于初始A[i]=0，所以有A[i] = B[i..N]之和！而ADD(i, c)（将A[1..i]整体加上c），将B[i]加上c即可——只要对B数组进行操作就行了。

这样就把该模型转化成了“改点求段”型，只是有一点不同的是，SUM(x)不是求B[1..x]的和而是求B[x..N]的和，此时只需把ADD和SUM中的增减次序对调即可（模型1中是ADD加SUM减，这里是ADD减SUM加）。代码：

void ADD(int x, int c)
{
     for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) b[i] += c;
}
int SUM(int x)
{
    int s = 0;
    for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) s += b[i];
    return s;
}

操作【1】：ADD(l-1, -c); ADD(r, c);

操作【2】：SUM(x)。

（3）“改段求段”型，即对于序列A有以下操作：

【1】修改操作：将A[l..r]之间的全部元素值加上c；

【2】求和操作：求此时A[l..r]的和。

这是最复杂的模型，需要两个辅助数组：B[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少（和模型2中的一样），C[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少的总和（或者说，C[i]=B[i]*i）。

对于ADD(x, c)，只要将B[x]加上c，同时C[x]加上c*x即可（根据C[x]和B[x]间的关系可得）；

而ADD(x, c)操作是这样影响A[1..i]的和的：若x<i，则会将A[1..i]的和加上x*c，否则（x>=i）会将A[1..i]的和加上i*c。也就是，A[1..i]之和 = B[i..N]之和 * i + C[1..i-1]之和。
这样对于B和C两个数组而言就变成了“改点求段”（不过B是求后缀和而C是求前缀和）。
另外，该模型中需要特别注意越界问题，即x=0时不能执行SUM_B操作和ADD_C操作！代码：

void ADD_B(int x, int c)
{
     for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) B[i] += c;
}
void ADD_C(int x, int c)
{
     for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) C[i] += x * c;
}
int SUM_B(int x)
{
    int s = 0;
    for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) s += B[i];
    return s;
}
int SUM_C(int x)
{
    int s = 0;
    for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) s += C[i];
    return s;
}
inline int SUM(int x)
{
    if (x) return SUM_B(x) * x + SUM_C(x - 1); else return 0;
}

操作【1】：
ADD_B(r, c); ADD_C(r, c);
if (l > 1) {ADD_B(l - 1, -c); ADD_C(l - 1, -c);}

操作【2】：SUM(r) - SUM(l - 1)。

来自于http://www.cppblog.com/MatoNo1/archive/2011/03/19/142226.aspx

1、概述

树状数组(binary indexed tree)，是一种设计新颖的数组结构，它能够高效地获取数组中连续n个数的和。概括说，树状数组通常用于解决以下问题：数组{a}中的元素可能不断地被修改，怎样才能快速地获取连续几个数的和？

2、树状数组基本操作

传统数组(共n个元素)的元素修改和连续元素求和的复杂度分别为O(1)和O(n)。树状数组通过将线性结构转换成伪树状结构（线性结构只能逐个扫描元素，而树状结构可以实现跳跃式扫描），使得修改和求和复杂度均为O(lgn)，大大提高了整体效率。

给定序列（数列）A，我们设一个数组C满足

C[i] = A[i–2^k+ 1] + … + A[i]

其中，k为i在二进制下末尾0的个数，i从1开始算！

则我们称C为树状数组。

下面的问题是，给定i，如何求2^k?

答案很简单：2^k=i&(i^(i-1)) ，也就是i&(-i)

下面进行解释：

以i=6为例（注意：a_x表示数字a是x进制表示形式）：

(i)_10 = (0110)_2

(i-1)_10=(0101)_2

i xor (i-1) =(0011)_2

i and (i xor (i-1))  =(0010)_2

2^k = 2

C[6] = C[6-2+1]+…+A[6]=A[5]+A[6]

数组C的具体含义如下图所示：

当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。

树状数组能快速求任意区间的和：A[i] + A[i+1] + … + A[j]，设sum(k) = A[1]+A[2]+…+A[k]，则A[i] + A[i+1] + … + A[j] = sum(j)-sum(i-1)。

下面给出树状数组的C语言实现：

1

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49

//求2^k

 

intlowbit(intt)

 

{

 

    returnt & ( t ^ ( t - 1 ) );

 

}

 

//求前n项和

 

intsum(intend)

 

{

 

   intsum = 0;

 

   while(end > 0)

 

  {

 

     sum += in[end];

 

     end -= lowbit(end);

 

  }

 

  returnsum;

 

}

 

//增加某个元素的大小

 

voidplus(intpos, intnum)

 

{

 

   while(pos <= n)

 

  {

 

     in[pos] += num;

 

     pos += lowbit(pos);

 

  }

 

}

3、扩展——二维树状数组

一维树状数组很容易扩展到二维，二维树状数组如下所示：

C[x][y] = sum(A[i][j])

其中，x-lowbit[x]+1 <= i<=x且y-lowbit[y]+1 <= j <=y

4、应用

（1）    一维树状数组：

参见：http://hi.baidu.com/lilu03555/blog/item/4118f04429739580b3b7dc74.html

（2）    二维树状数组：

一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作

1) 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负）

2) 查询某个子矩阵里所有数字的和

要求对每次查询，输出结果

5、总结

树状数组最初是在设计压缩算法时发现的（见参考资料1），现在也会经常用语维护子序列和。它与线段树（具体见：数据结构之线段树）比较在思想上类似，比线段树节省空间且编程复杂度低，但使用范围比线段树小（如查询每个区间最小值问题）。

6、参考资料

（1）    Binary Indexed Trees：

http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=binaryIndexedTrees

（2）    吴豪文章《树状数组》：

http://www.java3z.com/cwbwebhome/article/article19/zip/treearray.zip

（3）    郭炜文章《线段树和树状数组》：

http://poj.org/summerschool/1_interval_tree.pdf

来自于http://dongxicheng.org/structure/binary_indexed_tree/