求最长公共子序列——LCS

 LCS问题就是求两个字符串最长公共子串的问题。解法就是用一个矩阵来记录两个字符串中所有位置的两个字符之间的匹配情况，若是匹配则为1，否则为0。然后求出对角线最长的1序列，其对应的位置就是最长匹配子串的位置.


下面是字符串21232523311324和字符串312123223445的匹配矩阵，前者为X方向的，后者为Y方向的。不难找到，红色部分是最长的匹配子串。通过查找位置我们得到最长的匹配子串为：21232


   0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
   0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
   1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
   0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
   1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
   0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
   1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
   1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
   0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
   0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


但是在0和1的矩阵中找最长的1对角线序列又要花去一定的时间。通过改进矩阵的生成方式和设置标记变量，可以省去这部分时间。下面是新的矩阵生成方式：


   0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
   0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0
   1 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
   0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
   1 0 3 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
   0 0 0 4 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0
   1 0 1 0 5 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0
   1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
   0 0 0 2 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
   0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   


          当字符匹配的时候，我们并不是简单的给相应元素赋上1，而是赋上其左上角元素的值加一。我们用两个标记变量来标记矩阵中值最大的元素的位置，在矩阵生成的过程中来判断当前生成的元素的值是不是最大的，据此来改变标记变量的值，那么到矩阵完成的时候，最长匹配子串的位置和长度就已经出来了。


算法的基本思想：


当字符匹配的时候，不是简单的给相应元素赋上1，而是赋上其左上角元素的值加一。


我们用两个标记变量来标记矩阵中值最大的元素的位置，在矩阵生成的过程中来判断


当前生成的元素的值是不是最大的，据此来改变标记变量的值，那么到矩阵完成的时

候，最长匹配子串的位置和长度就已经出来了。

#include<stdio.h> #include<malloc.h>#include<string.h>   #define M 100      //LCS问题就是求两个字符串最长公共子串的问题   char* LCS(char left[],char right[])   {          //获取左子串的长度,获取右子串的长度       int lenLeft=strlen(left),lenRight=strlen(right),k;       //注意这里要写成char型,而不是int型,否则输入整型数据时会产生错误。       //矩阵c纪录两串的匹配情况       char*c=malloc(lenRight),*p;                 //int c[M][M]={0};//当将c申明为一个二维数组时       int start,end,len,i,j;//start表明最长公共子串的起始点，end表明最长公共子串的终止点       end=len=0;//len表示最长公共子串的长度           for(i=0; i<lenLeft; i++) //串1从前向后比较       {           //串2从后向前比较,为什么要从后向前呢?是把一维数组c[ ]当二维数组来用,           //如果要从前向后,可以将c申明为一个二维数组c[M][M].但程序要做相应调整.           // for(j=0;j<lenRight;j++)//当c申明为一个二维数组时           for(j=lenRight-1; j>=0; j--)            {               if(left[i] == right[j])//元素相等时               {                   if(i==0||j==0)                       c[j]=1;//c[i][j]=1;                   else                  {                       c[j]=c[j-1]+1;//c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;                   }               }               else                  c[j] = 0;    //c[i][j]=0;               if(c[j] > len)   //if (c[i][j]>len)               {                   len=c[j];   //len=c[i][j];                   end=j;               }           }       }       start=end-len+1;               //数组p纪录最长公共子串       p =(char*)malloc(len+1);       for(i=start; i<=end; i++)       {           p[i-start] = right[i];       }       p[len]='\0';       return p;   }       void main()   {       char str1[M],str2[M];       printf("请输入字符串1:\n");       gets(str1);       printf("请输入字符串2:\n");       gets(str2);       printf("最长子串为:\n");       printf("%s\n",LCS(str1,str2));   }