求最长公共子序列(LCS)

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LCS的定义

         其实看字面意思就知道LCS是什么了，这里主要是提醒注意区别最长公共子串。

                   最长公共子序列不要求连续

                   最长公共子串不要求连续

         如：

                   字符串13455与245576的最长公共子序列为455，最长子串也是455。

                   字符串acdfg与adfc的最长公共子序列为adf，没有子串子串。

题目

         求两个字符串的LCS。

记号

         为了方便说明，这里先做一些记号：

                   字符串X，长度为m，从1开始数；

                   字符串Y，长度为n ，从1开始数；

                   Xi=﹤x1，⋯，xi﹥：X序列的前i个字符 (1≤i≤m)

                   Yj=﹤y1，⋯，yj﹥：Y序列的前j个字符 (1≤j≤n)

                   LCS(X, Y) ：字符串X和Y的最长公共子序列，即：

                            Z=﹤z1，⋯，zk﹥。

                            注：这是不严格的表述。事实上，X和Y的可能存在多个子串，长度相同并且最大，因此，LCS(X,Y)严格的说，是个字符串集合。即：Z∈ LCS(X , Y) .

分析

         假设我们已经求出了X_m-1和Y_n-1的LCS，即，求出了LCS(X_m-1,Y_n-1)，那如何求LCS(X_m, Y_n)呢？

         这要分情况讨论：

                   情况1：X的第m个字符x_m= Y的第n个字符y_n

                                          此时：LCS(X_m,Y_n) = LCS(X_m-1, Y_n-1) + x_m。

                            如：

                            对于上面的字符串X和Y：

                                     x₃ =y₃ =‘C’，则：LCS(BDC,ABC)=LCS(BD,AB)+‘C’

                                     x₅ =y₄=‘B’，则：LCS(BDCAB,ABCB)=LCS(BDCA,ABC)+‘B’

                   情况2：X的第m个字符x_m≠ Y的第n个字符y_n

                                          此时：

                                     要么：LCS(X_m,Y_n) = LCS(X_m-1, Y_n)

                                     要么：LCS(X_m,Y_n) = LCS(X_m, Y_n-1)

状态转移方程

         根据上面的说明，就可以写出状态转移方程了，如下：

                   x_m= y_m时

                            LCS(X_m, Y_n)= LCS(X_m-1, Y_n-1) + x_m。

                   x_m≠ y_n时

                            LCS(X_m,Y_n) = max( LCS(X_m-1, Y_n),LCS(X_m, Y_n) = LCS(X_m, Y_n-1) )

实现

         它的实现一般采用如下的方式。

         使用一个二维数组C[m,n]，其中C[i, j] 记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。

                   PS：当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列，故C[i,j]=0。

         因此状态转移方程可以写成：

                   i = 0或j = 0时

                            C[i,j] = 0

                   i > 0, j > 0，且x_i = y_j时

                            C[i,j] = C[i-1, j-1] + 1

                   i > 0, j > 0，且x_i ≠ y_j时

                            C[i,j] = max( C[i-1, j], C[i, j-1] )

例子

        

         如上图所示：

                   X= <A, B, C, B, D, A, B>，Y = <B, D, C, A, B, A>，方格中的数字时该位置的LCS[X_i,Y_j]。

         首先，第0行第0列都赋值为0，因为上面已经说了：i = 0或j = 0时，C[i, j] = 0

         假设现在求LCS[X₄,Y₃]，如箭头所指。

         因为此时i=4>0,j=3>0，且x₄≠y₃，所以：

                   LCS[X₄,Y₃] = max(LCS(X₃, Y₃), LCS(X₄, Y₂))= max(1, 2) = 2。

         接下来的就是遍历完所有的i，j就有了上面的表的内容。

         剩下的，想求谁的LCS则直接从表中取就是。

如何求LCS的内容

         上面时求LCS的长度，那如果相求LCS的内容呢？

         这样做：

                   刚才是从i=0, j=0遍历到i=7, j=6，那现在就从i=7,j=6往回查找，查找的方式如下：

                            1，将当前的字母追加至保存用的字符串，然后判断：

                                    如果i或j等于0，反转保存用的字符串并返回；

                                    反之，执行第二步。

                            2，查看左边和上边的值：

                                     如果x_i≠ y_j：

                                             如果LCS(X_i-1,Y_j) = LCS(X_i, Y_j-1)：向上走，然后回到第1步

                                             如果LCS(X_i-1,Y_j) ≠LCS(X_i, Y_j-1)：走到值大的位置，然后回到第1步。

                                     如果x_i= y_j：走到当前位置的左上角，然后回到第1步。     

         PS：如果在“x_i≠ y_j 时的如果LCS(X_i-1, Y_j) = LCS(X_i, Y_j-1)”的情况下选择向左走，则会得到另一个结果，但这也是对的，所以LCS(X, Y)有多个解，当然LCS的长度都一样。

             

时间复杂度

         上面是打了一个m*n的表，所以时间复杂度和空间复杂度是O(m*n)。

         不过，如果仅仅是求LCS的长度而不用求LCS本身时，则不需要保存这个表，因为我们计算第i行时最多只使用第i-1行的数据，用不到i-2行的数据，所以只需要每次保存当前行以供下次计算就好，也就是使用滚动数组的方式。

         所以，如果仅仅是求LCS的长度而不用求LCS本身时可以使用用滚动数组：

                  1，  创建个长度是7的数组，并将其初始化为[0,0,0,0,0,0,0]，这是第一行

                  2，  到第二行时，该行对应的字母是A，然后让A和每一列进行比对：

                            第一个因为是第一列，所以还强制为0

                            第二列：因为A != B，所以L₂₂= max(L₁₂, L₂₁)

                            …

                            第五列：因为 A = A，所以 L₂₄= L₁₃ + 1

                            …

                   就这样递归

         这样空间复杂度就是O(m)。