同余方程

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【NOIP 2012 提高组 第二天 第一题】

【题目描述】

求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

【输入输出格式】

输入格式：

输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。

输出格式：

输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

【输入输出样例】

输入样例#1：

3 10

输出样例#1：

7

【说明】

对于 40%的数据，2 ≤b≤ 1,000； 
对于 60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000； 

对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。 

【思路&知识补充】

ax ≡ 1 (mod b)

可以写成

ax+by=1

运用扩展欧几里得算法，求出一组解。根据所有解的规律：

x加上b/gcd(a,b)，同时y减去a/gcd(a,b)后，仍满足ax+by=c。

求出x的最小正整数解。

【代码】

<span style="font-size:18px;">var a,b,c,x,y:int64;function gcd(a,b:int64; var x,y:int64):int64;//扩展欧几里得定理var t:int64;begin    if b=0 then//当b=0时退出，此时a为最大公约数    begin        x:=1;        y:=0;        exit(a);    end;    gcd:=gcd(b,a mod b,x,y);    t:=x;    x:=y;    y:=t-(a div b)*y;end;begin    read(a,b);    c:=gcd(a,b,x,y);    while (x-(b div c)>0) do x:=x-b div c;    //判断x大小，如果比0大即减（b div c），此时y+（a div c）得数相等    if x<0 then while x<0 do x:=x+(b div c);    //判断x小于零，同理加（b div c）    writeln(x);end.</span>