置换及其应用

1.置换的定义：n个元素的全排列/一一映射
2.性质：
1）置换具乘法有结合律但是没有交换律，但是不相交的循环乘法具有交换律
2）置换可以唯一地分解为不相交循环的乘积
3.循环节：置换的循环分解中循环的个数称为该置换的循环节
4.应用：
1）等价类计数
不动点：若某个方案s经过置换f后不变，称s为f的不动点，记置换f的不动点个数为C(f)。
伯恩赛德定理：ans=[∑ki=1C(fi)]/k,fi为第i个置换，C为不动点个数，ans是等价类个数和
波利亚定理：ans=[∑ki=1cntm(fi)]/k,m(f)为置换f的循环节，cnt为可用种类数（可涂色种数）
波利亚定理使得等价类计数问题转化为以下问题：
1.找到所有的置换：一般为旋转和反射/翻转两种操作，每种操作由于旋转角度和对称轴不同而形成不同等价类，但是不以旋转和翻转方向作为不同等价类的计算标准。
2.对于每一种置换，寻找各自循环节m(f)，就是看经过多少次相同该置换后，各点回到原来位置
3.带入波利亚公式求解即可。

结论
置换分解
1.置换B可以分解为A^2的条件是B的偶数长度循环有偶数个
2.奇数循环可以分结尾一个奇数循环平方的形式
高次方形式有类似结论
3.交换排列
1.一个n个数的排列的置换为f，f的循环节为k，那么它至少交换n-k次才能得到1-n的顺序排列