二分图匹配学习——KM算法

KM算法思路：

KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B [i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终 成立。KM算法的正确性基于以下定理： 
　　若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。 
　　这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。 
　　初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。 
　　我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现： 
两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。 
两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。 
X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。 
X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。 
　　现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。 
　　以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶 标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改 顶标后，要把所有的slack值都减去d。

KM（O（n^3））

#define M 205#define inf 0x3fffffffbool visx[M], visy[M];int match[M], w[M][M], n, m, d;int lx[M], ly[M];//顶标int slack[M];//n：左集元素个数； m：右集元素个数bool dfs (int u){    int v;    visx[u] = true;    for (v = 0; v < m; v++)    {        if(visy[v])            continue;        if (lx[u]+ly[v]==w[u][v])        {            visy[v] = true;            if (match[v] == -1 || dfs (match[v]))            {                match[v] = u;                return true;            }        }        else if(slack[v]>lx[u]+ly[v]-w[u][v])            slack[v]=lx[u]+ly[v]-w[u][v];    }    return false;}int KM (){    int i, j, sum = 0;    memset (ly, 0, sizeof(ly));    for (i = 0; i < n; i++)    {        lx[i] = -inf;        for (j = 0; j < m; j++)            if (lx[i] < w[i][j])                lx[i] = w[i][j];    }    memset (match, -1, sizeof(match));    for (i = 0; i < n; i++)    {        for(j=0; j<m; j++)            slack[j]=inf;        while (1)        {            memset (visx, false, sizeof(visx));            memset (visy, false, sizeof(visy));            if (dfs (i))// 用匈牙利算法寻找完备匹配                break;            d = inf;            for (j = 0; j < m; j++)                if(!visy[j] && d > slack[j])                    d = slack[j];            for (j = 0; j < n; j++)//修改x的顶标                if (visx[j])                    lx[j] -= d;            for (j = 0; j < m; j++)//修改y的顶标                if (visy[j])                    ly[j] += d;                else                    slack[j] -= d;        }    }    for (i = 0; i < m; i++)        if (match[i] > -1)            sum += w[match[i]][i];    return sum;}

KM(O(n^4))

#define M 505#define inf 0x3fffffffbool visx[M], visy[M];int match[M], w[M][M], n, m, d;int lx[M], ly[M];//顶标//n：左集元素个数； m：右集元素个数bool dfs (int u){int v;visx[u] = true;for (v = 0; v < m; v++){if (!visy[v] && lx[u]+ly[v]==w[u][v]){visy[v] = true;if (match[v] == -1 || dfs (match[v])){match[v] = u;return true;}}}return false;}int KM (){int i, j, k, sum = 0;memset (ly, 0, sizeof(ly));for (i = 0; i < n; i++){lx[i] = -inf;for (j = 0; j < m; j++)if (lx[i] < w[i][j])lx[i] = w[i][j];}memset (match, -1, sizeof(match));for (i = 0; i < n; i++){while (1){memset (visx, false, sizeof(visx));memset (visy, false, sizeof(visy));if (dfs (i))// 用匈牙利算法寻找完备匹配break;d = inf;for (j = 0; j < n; j++)if (visx[j])for (k = 0; k < m; k++)if (!visy[k])d = min (d, lx[j]+ly[k]-w[j][k]);for (j = 0; j < n; j++)//修改x的顶标if (visx[j])lx[j] -= d;for (j = 0; j < m; j++)//修改y的顶标if (visy[j])ly[j] += d;}}for (i = 0; i < m; i++)if (match[i] > -1)sum += w[match[i]][i];return sum;}