君と彼女の恋

题解前的BB
题目居然用漫作为题目背景，题目中那神说的话不符合语法，我也是醉了。

题目大意
给出n,m(0≤n≤1018,1≤m≤100)，有序列a1,a2,a3...ak−1,ak满足这些数的和是n，且每个数模m后的结果互不相同，求这样的序列的个数，结果模905229641。

我们先来学习一些必备的东西。

放小球问题
现在我们来考虑一类特殊的问题：现在有a个球，要将其分成b组，每组至少有一个球，求方案数。
我们把a个球摊开后，题目就变成，要在a个格子之间放b-1个隔板（即在a−1个空隙中放入b−1隔板），使其分成b组，那么这样的组合数就为Cb−1a−1

这个问题再升级一下就变成：现在有a个球，要将其分成b组，每组可以没有球，求方案数。
这样的解法其实是类似的。
考虑一个合法的方案，在每一组里都加入一个球，则每一组都有至少一个球，就得球的个数就变成了a+b个，题目就变成了：有a+b个球，要将其分成b组，每组至少有一个球，求方案数。则由上面一个问题的结论得出，这个问题的答案即为Cb−1a+b−1。

逆元
大家都知道倒数吧，1x是x的倒数，那么在模意义下的倒数即为逆元，即如果满足x×x′≡1(modp)，那么k就是x的逆元，
由费马小定理：当x与p互质时，xp−1≡1(modp)
得x×xp−2≡1(modp)
又因为x×x′≡1(modp)
那么x′≡xp−2(modp)
即x的逆元为xp−2

思路
一个很直观的想法是设fx,y表示这个序列的数的和是x,有y个模m后结果不同的数的方案数，显然转移伪代码为

t=0 -> m-1    k=0 -> n    if k%t==0        x=n -> 0            y=1 -> m            f[x][y]=f[x][y]+f[x-k][y-1];

算出f数组后直接统计答案就好了。
然而，这样的时间复杂度是O(n2m2)，显然很暴力，空间也很大。
这个方程是可以优化的！！！,设fx,y表示这个序列的数模m后的和为x,有y个模m后结果不同的数的方案数，这样的话，转移就变成了

t=0 -> m-1    x=m*(m-1)/2 -> 0        y=1 -> m        f[x][y]=f[x][y]+f[x-t][y-1];

这样的时间复杂度就变成了O(m4)，时限一秒，可以过。但是，还没有完，我们还要求答案。

回归题目
前面我们已经预处理出了f数组，然后在于处理出jsi表示i的阶乘。设有序列b1,b2...bk满足b序列的数互不相同且都小于m，求答案的具体思路就是枚举b序列的和t，显然我们可以得出还需给任意一些b序列里的数加上共((n−t)÷m)个m，就能使b序列成为一个合法的a序列，设x=(n−t)÷m，再枚举b序列的长度len，那么再由前面讨论出的特殊问题的结论（看到这里读者也许忘了，就是将a个球分成b组，每组可以没有球的方案数为Cb−1a+b−1），答案就为ft,len∗jslen∗Clen−1x+len−1的和
看到这儿，是不是觉得这就是正解，小心脏就兴奋了？快要炸开了？太天真了。
由数据范围(0≤n≤1018)，x的值可能很大，所以组合数不可以直接预处理，怎么办？因为len是从1到m枚举的，所以当len=1时，组合数的值为1，于是我们可以一个一个转移组合数的值。
当我们从Clen−1x+len−1转移到Clenx+len时，实际上，Clenx+len=Clen−1x+len−1×x+lenlen
因为有模，所以要用逆元，所以
Clenx+len≡Clen−1x+len−1×(x+len)×lenp−2(modp)
于是就可以完美解决了，除预处理外时间复杂度O(m3)

下面附一下代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cmath>#include<numeric>#include<cstring>#include<queue>#include<functional>#include<set>#include<map>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)typedef long long LL;const int mod = 905229641;const int M = 110;using namespace std;LL n;LL m,f[M][M*M],ans,js[M];void prepare(){    f[0][0]=1;    fo(i,0,m-1)        fd(x,i,0)            fo(y,0,m*(m-1)/2-i)            if (f[x][y])f[x+1][y+i]=(f[x][y]+f[x+1][y+i])%mod;    js[1]=1;    fo(i,2,m)js[i]=js[i-1]*i%mod;}LL quickmi(LL x,int tim){    LL ans=1;    while (tim){        if (tim%2==1)ans=(ans*x)%mod;        x=(x*x)%mod;        tim/=2;    }    return ans;}void getans(){    ans=0;    fo(i,0,m*(m-1)/2)    if ((n-i)%m==0){        LL x=((n-i)/m)%mod;        LL tot=1;        fo(j,1,m){            ans=(ans+f[j][i]*js[j]%mod*tot%mod)%mod;            tot=(tot*(x+j)%mod*quickmi(j,mod-2)%mod)%mod;        }       }}int main(){    scanf("%lld%d",&n,&m);    prepare();    getans();    printf("%lld\n",ans);}