最短路算法之Folyd算法

看到hihocoder上面的解释不错就直接复制过来了。

小Hi强行装作没听到，继续说道：“这个算法的核心之处在于数学归纳法——MinDistance(i, j)之间最短路径中可以用到的节点是一点点增加的！”

“你这话每一个字我都听得懂，但是这句话为什么我听不懂呢……”小Ho无奈道。

“那我这么说吧，首先，最开始的时候，MinDistance(i, j)——即从第i个点到第j个点的最短路径的长度，拥有一个限制：这条路径不能经过任何节点。”小Hi道。

“那就是说如果从i个点到第j个点之间没有直接相连的边的话，这个长度就是无穷大咯？”小Ho总结道：“只需要把输入的边填进MinDistance中即可！”

“对！”小Hi满意于小Ho的上道，继续说道：“然后我放开限制，我允许MinDistance(i, j)——从第i个点到第j个点的最短路径的长度，拥有的限制，变为：这条路径仅允许经过1号节点。”

“这个也简单，对于两个节点i, j，我只需要比较MinDistance(i, j)原来的值和MinDistance(i, 1)+MinDistance(1, j)的值，取较小的一个作为新的MinDistance(i, j)就可以了——毕竟原来的MinDistance都是不经过任何节点，那么这样求出来的新的MinDistance(i, j)只有可能经过1号节点。”

“那么接下来就是关键的了，我将限制继续放宽——路径仅允许经过1、2号节点。”小Hi继续说道。

“那其实也没有任何变化吧，对于两个节点i, j，我只需要比较MinDistance(i, j)原来的值和MinDistance(i, 2)+MinDistance(2, j)的值，取较小的一个作为新的MinDistance(i, j)，之所以可以这样是因为，原来的MinDistance都是在限制“仅允许经过1号节点”下，求出来的，所以新求出来的MinDistance(i, j)也只有可能经过1、2号节点！“

“那我继续放开限制呢？”小Hi问道。

“也没有什么区别了，每放开一个新的节点k允许作为路径中的节点，就对于任意的i, j，用MinDistance(i, k)+MinDistance(k, j)去更新MinDistance(i, j)，直到1..N号节点都被添加进限制，此时也就等于没有限制了，那么这个时候的MinDistance(i, j)就是我们所想要求的值，

//输入边的时候一定要注意重边的选择问题/*int u, v, c; scanf("%d %d %d", &u, &v, &c);dis[u][v] = dis[v][u] = min(dis[u][v], c);*/for (int k = 1; k <= n; k++){for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);}}}