BZOJ 2005 [Noi2010]能量采集 (容斥)

 [Noi2010]能量采集

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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4

【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36

【样例输出2】
20

【数据规模和约定】
对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2005

题目分析：首先不难发现点(x,y)和(0,0)点之间的植物个数为gcd(x,y)-1，因此题目要求的实际上就是Σi(1-n)Σj(1-m) [2 * (gcd(i, j) - 1) - 1]，化简一下得 2 * Σi(1-n)Σj(1-m) gcd(i, j) - n * m，现在问题就是如何快速求Σi(1-n)Σj(1-m) gcd(i, j)，可以用莫比乌斯反演搞，不过直接nlogn的容斥就可以了，cnt[i]记录的是最大公约数为i的二元组个数，首先(n / i) * (m / i)是所有以i为公约数的二元组个数  那么拿cnt[i]减去所有的cnt[j](j为i的倍数)，剩下的就是所有以i为最大公约数的二元组个数，注意这里枚举约数时要倒序，因为我们要用小的减大的，要保证大的已经算出来了，然后按照公式计算即可，注意要用long long

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#define ll long longusing namespace std;int const MAX = 1e5 + 5;ll cnt[MAX];int main(){    ll ans = 0;    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));    ll n, m;    scanf("%lld %lld", &n, &m);    if(n < m)        swap(n, m);    for(int i = n; i >= 1; i--)    {        cnt[i] = (ll) (n / i) * (m / i);        for(int j = i * 2; j <= n; j += i)            cnt[i] -= cnt[j];        ans += i * cnt[i];    }    printf("%lld\n", 2 * ans - n * m);}