二分搜索

对《挑战程序设计竞赛》的一个记录

第三章  出类拔萃——中级篇

3.1 二分搜索

（1） 从有序数组中查找某个值

这个是最常见的二分搜索，在这就不多说了

（2）假定一个解并判断是否可行

之前不知道原来二分有那么多用处，往下看

poj 1064

有N条绳子，他们的长度分别为Li，如果从他们中切割出K条相同的绳子的话，这K条绳子每段最长能有多长？答案保留到小数点后2位。

已知：

1≤N≤10000

1≤K≤10000

1≤Li≤100000

sample input 

N = 4

K = 11

L = {8.02，7.43，4.57，5.39}

sample output 

2.00（每条绳子可以得到4条，3条，2条，2条，总计11条）

二分搜索模型的建立，令条件C(x):=可以得到K条长度为x的绳子

我们要二分的是绳子的长度，已知最小长度为0（l = 0），最大长度为最长绳子的长度(r = INF),当二分到某个值时，如果能得到的绳子数>K,表明当前值小了，还可以切更大的

这题要注意的是最后输出时，长度不要四舍五入后的值，例如2,005我要的是2.00而不是2.01，如果直接printf("%.2lf",ans),会自动四舍五入的。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>#include <algorithm>#include <cstring>#include <string>#define sf scanf#define pf printf#define eps 1e-10using namespace std;const int Maxn = 10010;double len[Maxn];int n,k;int getnum(double mid){    int num  = 0;    for(int i = 0;i < n;i ++)        num += (int)(len[i]/mid);    return num;}double solve(double r){    double l = 0;    while(l - r < -eps)    {        double mid = (l + r) / 2;        if(getnum(mid) < k)            r = mid;        else            l = mid;    }    return r;}int main(){    while(~sf("%d%d",&n,&k))    {        double Max = 0;        for(int i = 0;i < n;i ++)        {            sf("%lf",&len[i]);            if(len[i] > Max)                Max = len[i];        }        double ans = solve(Max);        pf("%.2f\n",floor(ans * 100) / 100);    }    return 0;}

（3） 最大化最小值

poj 2456  Aggressive cows

农夫约翰搭了一间有N见牛舍的小屋。牛舍排在一条线上，第i号牛舍在xi的位置，但是他的M头牛对小屋很不满意，因此经常相互攻击，约翰为了防止牛之间互相伤害，因此决定把每头牛放在离其他牛尽可能远的牛舍，也就是最大化最近的两头牛之间的距离。

已知：

2≤N≤100000

2≤M≤N

0≤Xi≤10^9

sample input

N = 5

M = 3

x = {1,2,8,4,9}

sample output

3(在位置1,4,8的牛舍中放入三头牛)

这道题其实跟上一题其实很像，我们可以定义C(d):=可以安排牛的位置使得任意牛的间距不小于d

首先按牛舍的距离排序

二分到某个d值后，从第一个牛舍开始放牛，找到一个牛舍使得它与之前放牛的牛舍距离≥d，再放入一头牛，依次计算，得到一共能放k头牛，如果k>M,说明二分的d值太小，还可以继续扩大。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>#include <algorithm>#include <cstring>#include <string>#define sf scanf#define pf printfusing namespace std;const int Maxn = 100010;int n,k;int x[Maxn];int getnum(int mid){    int num = 1;    int f = x[0];    for(int i = 1;i < n;i ++)    {        if(x[i] - f >= mid)        {            num ++;            f = x[i];        }    }    return num;}int solve(int l,int r){    while(l <= r)    {        int mid = (l + r) / 2;        if(getnum(mid) < k)            r = mid - 1;        else            l = mid + 1;    }    return r;}int main(){    while(~sf("%d%d",&n,&k))    {        for(int i = 0;i < n;i ++)            sf("%d",&x[i]);        sort(x,x + n);        pf("%d\n",solve(0,x[n - 1] - x[0]));    }    return 0;}

（4） 最大化平均值

有n个物品的重量和价值分别问wi和vi，从中选出k个物品使得单位重量的价值最大

已知：

1≤k≤n≤10^5

1≤wi,vi≤10^6

sample input

n = 3

k = 2

{w,v} = {{2,2},{5,3},{2,1}}

sample output

0.75(如果选择0号和2号，平均价值为（2 + 1）/(2 + 2) = 0.75)

这题的想法比前两个难一点，首先想到的就是对平均值进行二分枚举，但是枚举到值后，怎么去确定到底是由哪些物品构成了这个平均值。

换个思路，如果是按贪心的方法，把物品按单位价值进行排序，从大到小进行贪心地进行选取，但是这个方法的得到的结果是5/7 = 0.714,那到底该如何求解呢？

还是二分，我们定义条件C(x):=可以选择使得单位重量的价值不小于x。我们选择某些物品的集合S，使得其单位重量的价值为

因此判断是否存在S满足下面的条件：

 即

因此对vi-x*wi进行贪心的选取就好了，按vi-x*wi从大到小排，如果前k个值使得不等式成立，则这个集合S是符合条件的，可以继续扩大x的范围。

poj 3111 代码如下：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>#include <algorithm>#include <cstring>#include <string>#define sf scanf#define pf printf#define eps 1e-7using namespace std;const int Maxn = 100010;int n,k;int ans[Maxn];struct node{double w,v;double perval;int p;};node jew[Maxn];double cmp(node x,node y){return x.perval > y.perval;}int getnum(double mid){for(int i = 0;i < n;i ++)jew[i].perval = jew[i].v - jew[i].w * mid;sort(jew,jew + n,cmp);double num = 0;for(int i = 0;i < k;i ++)num += jew[i].perval;return num >= 0;}void solve(double l,double r){while(l - r < -eps){double mid = (l + r) / 2;if(getnum(mid)){l = mid;for(int i = 0;i < k;i ++)ans[i] = jew[i].p;}else r = mid;}}int main(){while(~sf("%d%d",&n,&k)){double Max = 0;for(int i = 0;i < n;i ++){sf("%lf%lf",&jew[i].v,&jew[i].w);jew[i].p = i + 1;if(jew[i].v / jew[i].w > Max)Max = jew[i].v / jew[i].w;ans[i] = i + 1;}solve(0,Max);sort(ans,ans + k);pf("%d",ans[0]);for(int i = 1;i < k;i ++)pf(" %d",ans[i]);pf("\n");}return 0;}