数据结构:可合并堆——左偏树
来源:互联网 发布:冰川网络的游戏怎么样 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 12:50
刚刚又看了一遍左偏树的内容,为了加深理解,自己也写一篇,夹杂着许许多多的借鉴。
左偏树是可合并的二叉堆,首先满足所有的堆的性质,其外,它还可以合并。
左偏树的树节点需要保存的信息有:
1.左右子树节点编号
2.此节点到有空子结点的结点的最短距离len
3.自身权值
首先解释一下什么是有空子节点的节点,就是子节点数不足2个的节点,空,就是没有的意思。
左偏树除了堆的所有性质,它还要满足的重要的性质就是“左偏”,这个性质保证了它的操作都是O(logn)的。
左偏就是每个节点的左子节点的len不小于右子节点的len(但并不代表左子节点数一定不小于右子节点数),那么可知len[i] =len[rc[i]]+1,下面附上一张图会方便理解。
圈内是节点权值,蓝字就是len值。
探讨完性质之后,我们来看看它的操作。
堆可以做到的是:插入(O(logn)),查询最值(O(1)),删除堆顶(O(logn));
对于左偏树,这些操作都是基于合并的(除了查询最值),而且复杂度都仍然是O(logn)。
左偏树合并操作合并的是两棵左偏树,对于堆的插入,就是合并一棵树和一个节点,对于堆的删除,就是合并根的两棵子树。
那么我们就只需要知道左偏树的合并过程就可以了。
以小根堆为例,假如要合并A, B两个堆并且A < B(这个不满足的话只需要交换一下就可以),而且还要求两棵树的节点没有包含关系,就是没有相同的节点。在递归的过程中,比较B和A的右子树大小,如果B<A的右子树,那么交换B和A的右子树,接着将B看成刚刚的A,继续交换;如果B>A的右子树,那么继续找这颗树的右子树。而这样可能会破坏左偏的性质,所以需要在回溯的过程中维护左偏性质,通过交换左右子树完成。总的来说,左偏树的核心操作,合并,是在右子树上进行的,又因为要保证每个节点的左子节点的len不小于右子节点的len,而且有len[i] =len[rc[i]]+1,所以知道一棵左偏树的最大len是logn级别的,即使它是一条链,由于左偏性质,它会变成向左偏的一条链,而len的最大值是0,合并的复杂度很低。下面附上图会理解得更清晰:
//经过实践与进一步思考,证明原来自己写的模板有很大问题,最后还是决定按照大家通用的写法写一遍
// 左偏树模板, 以大根堆为例//结构体struct node{int w, lc, rc, h;}t[M];//核心操作 :合并(函数返回值:树根)int merge(int A, int B){if(!A) return B;if(!B) return A;if(t[A].w < t[B].w) swap(A, B);t[A].rc = merge(t[A].rc, B);maintain(A); //维护A的一些信息(此模板结构体中并没有),如:子节点数if(t[t[A].lc].h < t[t[A].rc].h) swap(t[A].lc, t[A].rc);if(t[A].rc) t[A].h = t[A].rc+1;else t[A].h = 0;return A;} //插入 void insert(int A, int x){cnt++;t[cnt].w = x; merge(A, cnt);} //删除void del(int A){merge(t[A].lc, t[A].rc);}
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