【codevs1048】【codevs1154&&06TG】石子归并、能量项链，序列dp的典型题目

1048 石子归并

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 题目等级 : 黄金 Gold

题解

题目描述 Description

有n堆石子排成一列，每堆石子有一个重量w[i], 每次合并可以合并相邻的两堆石子，一次合并的代价为两堆石子的重量和w[i]+w[i+1]。问安排怎样的合并顺序，能够使得总合并代价达到最小。

输入描述 Input Description

第一行一个整数n（n<=100）

第二行n个整数w1,w2...wn  (wi <= 100)

输出描述 Output Description

一个整数表示最小合并代价

样例输入 Sample Input

4

4 1 1 4

样例输出 Sample Output

18

数据范围及提示 Data Size & Hint

这是一道经典的序列dp题目，解题思路就是dp中最常用的“取中间点”的方法，若是第i颗石子与第j颗合并，那么我们可以在i-j的区间内找一颗石子k，通过它将i-j区间内所有石子合成2堆，最终合并成一堆，

代码如下

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int w[1001],n,f[102][102];//f[i][j]表示从i到j的最小合并价值main(){int x;scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&x);w[i]=w[i-1]+x;}for (int i=1;i<=n+1;i++)for (int j=1;j<=n+1;j++) f[i][j]=9999999;//对其进行初始化，使其刚开始合并价值最大，之后逐个消去for (int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=0;for (int i=n-1;i>=1;i--)//若用正序则ij取值要进行调整

for (int j=i+1;j<=n;j++)for (int k=i;k<=j-1;k++)//k是中间点f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+w[j]-w[i-1]);printf("%d",f[1][n]);}

1154 能量项链

 

2006年NOIP全国联赛提高组

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 题目等级 : 黄金 Gold

题解

题目描述 Description

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m*r*n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

输入描述 Input Description

第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N< span>时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出描述 Output Description

只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*109），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例输入 Sample Input

4

2 3 5 10

样例输出 Sample Output

710

数据范围及提示 Data Size & Hint

无

这道题和石子归并思路基本一致，但是我们要注意到石子归并中是一个单线序列，而这道题是一个环形序列，这也就是说头尾可以合并，当时po主的想法是进行两次平级循环调用，即f[i][j]指i-j的最小值，f[j][i]为j-1,1-i的最小值（i<j），但是真的不是很会写（不知道方法是否正确）就请教老师，老师提供的思路就是扩充序列规模，将环形转化为单线，即1-2-3-...-(n-1)-n-1-2-3-...-(n-1),这样进行n次循环，分别以1,2,3,4..n作为第一位进行dp，最终找出最大值即可，代码如下

#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;int a[201][3],f[201][201],n;main(){scanf("%d",&n);scanf("%d",&a[1][1]);for (int i=1;i<=n-1;i++){scanf("%d",&a[i][2]);a[i+1][1]=a[i][2];//1,2分别指一个珠子的头尾标示}a[n][2]=a[1][1];for (int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=0; for (int i=n+1;i<=2*n-1;i++) {a[i][1]=a[i-n][1];a[i][2]=a[i-n][2];}for (int l=1;l<=n;l++)for (int i=n+l-2;i>=l;i--)for (int j=i+1;j<=n+l-1;j++){//f[i][j]=max(f[i][j],f[1][i]+f[j][n]+a[1][1]*a[1][2]);for (int k=i;k<=j-1;k++)f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i][1]*a[k][2]*a[j][2]);}int maxn=0;for (int i=1;i<=n;i++)maxn=max(maxn,f[i][n+i-1]);printf("%d",maxn);} 

，]