统计简单学_估计

抽样分布与中央极限定理

抽样分布

从群体中抽取样本，样本统计量的几率分布称为抽样分布。

中央极限定理

从均值为μ，方差为σ2的群体中，以放回抽样的方法抽取样本大小为n的样本，当n足够大(n>=30)时，样本均值的抽样分布近似服从均值μ，方差σ2/n的正态分布。

估计方法简介

估计分为

1. 点估计
2. 区间估计

点估计

区间估计

区间估计，首先找到所求值的点估计，然后根据数据获得所求值得抽样分布，确定信赖水平（可信度），最后得到相应信赖水平下的信赖区间。

群体平均数μ的(1-α)信赖区间

总体原则

1. 根据中心极限定理，n足够大时，样本平均值的抽样分布近似为正态分布，可以用z分布或者t分布来近似。
2. 当群体方差已知的时候，不需要使用样本方差去估计总体方差，使用z检验。
3. 当群体方差未知的时候，原则上应使用样本方差估计总体方差，使用t检验。但是当样本数目大于30的时候，t检验和z检验结果相当接近，为了方便计算采用z检验。

方差已知

方差未知且为大样本

信赖区间的含义

95%信赖区间的含义是：样本数目不变的情况下，做一百次实验，得到一百个置信区间，共有95个置信区间包含了群体的真值。置信度为95%。
因为100个置信区间有95个都会包含真值，所以我们用95%置信度的置信区间包含真值的可能性就很大。

信赖区间与z值图

例子

方差未知

t分布区间估计公式

t分布简介

t分布性质

t分布几率表与t值计算

例子

群体比率值P的(1-α)信赖区间

群体方差σ2的(1-α)信赖区间

公式

卡方分布及其几率表

例子

样本大小之决定

样本大小的决定，受限于误差和置信度。

估计平均数时

估计比率时

回顾

R语言实践

#第一组为均值0的正态分布，第二组为均值0.1的正态分布data = rnorm(100)data2 = rnorm(100,mean = 0.1)#画数据的密度图和直方图plot(density(data))hist(data)#检验数据是否是正态分布#p<0.05则拒绝正态分布的假设shapiro.test(data)shapiro.test(data2)qqnorm(data);qqline(data,col=2)qqnorm(data2);qqline(data2,col=2)#对数据的平均数用t检验，查看95%置信区间以及平均数的显著程度。t.test(data)t.test(data,conf.level = 0.9)t.test(data2,mu=0.1)#自定义函数，可以求已知或未知群体方差的任意alpha水平的平均数的置信区间confint <- function(x,sigma=-1,alpha=0.05) {  n = length(x)  xb = mean(x)  #z-distribution  if(sigma>=0){    tmp = sigma/sqrt(n)*qnorm(1-alpha/2)    df = n  }  else{    tmp = sd(x)/sqrt(n)*qt(1-alpha/2,n-1)    df = n-1  }  data.frame(mean=xb,df=df,a=xb-tmp,b=xb+tmp)}confint(data)confint(data2)#对比例进行检定prop.test(83,100,.75,conf.level = .9)prop.test(30,500,.75)binom.test(83,100,.75,conf.level = .9)#对方差进行检定var.interval = function(data,conf.level=0.95){  df = length(data)-1  chilower = qchisq((1-conf.level)/2,df)  chiupper = qchisq((1-conf.level)/2,df,lower.tail = FALSE)  v = var(data)  c(df*v/chiupper, df*v/chilower)}#对置信区间取样,解释置信区间#lizard tail length datalizard = c(6.2,6.6,7.1,7.4,7.6,7.9,8,8.3,8.4,8.5,8.6,           8.8,8.8,9.1,9.2,9.4,9.4,9.7,9.9,10.2,10.4,10.8,           11.3,11.9)#采样数据n.draw = 100mu = 9n = length(lizard)SD = sd(lizard)draws = matrix(rnorm(n.draw*n,mu,SD),n)#针对100个样本，分别计算其置信区间get.conf.int = function(x) t.test(x)$conf.intconf.int = apply(draws,2,get.conf.int)sum(conf.int[1,] <= mu & mu<=conf.int[2,])#可视化plot(range(conf.int),c(0,1+n.draw),type="n",xlab="mean tail length",ylab="sample run")for(i in 1:n.draw) lines(conf.int[,i],rep(i,2),lwd=2)abline(v=9,lwd=2,lty=2,col=2)