跳台阶解析【剑指Offer】

题目描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。（题目链接：跳台阶）

解析，初学者可能会想到用递归的方法，f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)，这样写的缺点显而易见，复杂度过高，是指数级别，是复杂度是所以聪明一点的程序设计者会使用动态规划的方法，保存中间临时变量，这样时间复杂度就降成了O(N)，空间复杂度也变成了O(1)。

好奇的人可能不会满足现在的解，继续探索更好的解。线性代数是专门解决线性问题的，这里的线性迭代过程可以用矩阵乘法进行优化，请看下面的乘法：

这个式子有什么好处呢，可以发现每一次迭代只是当前项矩阵与一个常数矩阵的乘法，然后求第N项就是求一个初始举证乘以一个常数举证的N次方的结果，求矩阵幂可以有快速幂的方法，复杂度是O(logN)，这样我们就把复杂度降到了log量级了。

如果是还有读者对这个结果还不满意，还想进一步进行求解。那么他一定在想O(1)的解法，这样的解法会有吗？稍微看一下就知道这是一个斐波那契数列，上网搜一下，立马能找到斐波那契的通项公式，有了公式理论上是可以到O(1)的，不过这个通项有幂运算，计算复杂度依然不会小于log量级，除非事先打表。

接下来，有一个升级版的青蛙跳台阶问题，就是青蛙跳台阶的级数由1-2上升到1-n，同样是问青蛙跳到n级台阶的方案有多少种。

虽然是跳的台阶数增加了，之前的方法还是可行的，用DP的方法时间复杂变成了O(n ^ 2)，用矩阵的方法的复杂度变成了O(nlogn)，似乎都不太够理想，有没有比较优美一点的答案呢？推导一下:

f(n) = f(n – 1) + f(n – 2) + …. f(0)，那么f(n – 1) = f(n – 2) + …. f(0)，

可以看出f(n) = 2 * f(n – 1)，惊讶了！变成了一个等比数列，结果变成了一个纯数学解。。。

有不少类似的题目，比如说大牛隔3年能生小牛问第N天有多少牛的问题，实质上就是一个线性迭代问题，这类问题就是稍微变化了一下斐波那契数列，都可以用矩阵的方法。不过具体问题还是要具体分析，就像后面一个问题能找出数学解这么神奇的事情～