开关和灯泡的对应关系-二进制编码

http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/6732456

 在房里有三盏灯，房外有三个开关，在房外看不见房内的情况，你只能进门一次，你用什么方法来区分哪个开关控制哪一盏灯？

      答案：
      设三个开关是1、2、3。打开开关1等半个小时，关上开关1并打开开关2。
      进房后去摸灯泡，热的是开关1对应的灯泡；亮的是开关2对应的灯泡；不亮不热的是开关3对应的灯泡。

      分析： 
      首先想到的就是通过打开不同的开关，进去后看灯是否亮来找出对应关系。可能打开的开关数量只有0，1，2，3共四种情况，没有一种情况能解决这个问题。所以必须找到其它的信号。鉴于灯泡亮一段时间后会发热，我们可以使用灯的热度作为一个信号。这样我们就有了热且亮，热不亮，亮不热，不热不亮四种状态，足以用来区分三只灯泡了。

      这个题可以理解成一个编码问题，灯泡的状态作为编码空间，进屋的次数作为编码位数。

      如果只使用灯泡是否亮来判断，题目就相当于用一位二进制数来表示三种状态，是不可能的事情。加入了灯泡是否热后，就相当于用一位四进制数来表示三种状态，足够了。

      此题的一些可能变化： 
1、在房里有四盏灯，房外有四个开关，在房外看不见房内的情况，你只能进门一次，你用什么方法来区分哪个开关控制哪一盏灯？ 
2、在房里有n盏灯，房外有n个开关，在房外看不见房内，且进门后只能观察灯的亮度的情况下，你需要进门多少次才能区分哪个开关控制哪一盏灯？ 
3、在房里有n盏灯，房外有n个开关，每个开关有三种状态（开，关，半开（亮度为开的一半））在房外看不见房内，且进门后只能观察等的亮度的情况下，你需要进门多少次才能区分哪个开关控制哪一盏灯？             

 

 

其他题目：

现有共2007只灯均亮，每个灯都只有一个开关，第一次按2倍数的灯开关，第二次按3倍数的灯，第三次按5倍数的灯，最后亮灯有几只？

思路：这个题目跟集合的并集是有关系的，首先这么思考，一个灯的开关操作偶数次跟没有操作是一样的效果，操作一次跟操作奇数次是一样的效果。则2的倍数与3的倍数交集中减去2、3、5的倍数共同交集剩下的集合操作了偶数次，跟没有操作是一样的，所以这些灯还是亮着的，而2、3、5倍数的并集的补集中的这些灯一直没有操作，状态是没有变化的，一直都是亮着的。。

所以：2007中2的倍数有1003个

2007中3的倍数有669个

2007中5的倍数有401个

2007中6的倍数有334个

2007中10的倍数有200个

2007中15的倍数有133个

2007中30的倍数有66个

2、3、5倍数的并集的补集为2007-（1003+669+401-334-200-133+66）=535 这些灯一直没有操作，状态是没有变化的，一直都是亮着的。。

2的倍数与3的倍数交集中减去2、3、5的倍数共同交集剩下的集合操作了偶数次，跟没有操作是一样的，这些灯共有268盏。。

同理另外134盏和67盏灯都是操作了偶数次，跟没有操作是一样的，也是亮着的。。

所以：最后的亮灯共有535+268+134+67=1004

验证程序如下：

[cpp] view plaincopy

1. #include <stdio.h>  
2. #include <stdlib.h>  
3.   
4. void main()  
5. {  
6.     int a[2008],i,sum=0;  
7.     for(i=1;i<2008;i++)  
8.         a[i]=1;  
9.     for(i=1;i<2008;i++)  
10.     {  
11.         if(i%2==0)  
12.             a[i]=1-a[i];  
13.     }  
14.     for(i=1;i<2008;i++)  
15.     {  
16.         if(i%3==0)  
17.             a[i]=1-a[i];  
18.     }  
19.     for(i=1;i<2008;i++)  
20.     {  
21.         if(i%5==0)  
22.             a[i]=1-a[i];  
23.     }  
24.     for(i=1;i<2008;i++)  
25.     {  
26.         if(a[i]==1)      //统计亮灯的个数  
27.             sum++;  
28.     }  
29.     printf("%d\n",sum);  
30.     system("pause");  
31. }  

扩展题：

有1到100号的灯，一开始全部点亮。每盏灯都有独立的开关，且开关只有“开”和“关”两种状态。
第一次把所有1的倍数灯的开关按一次，第二次把所有2的倍数灯的开关按一下，一直到第一百次把所有100的倍数灯的开关按一下。
问，此时还有多少灯亮着？

因为开始时全部亮着，只有开关按偶数次的才会亮着。
实际上是问1,2,3,...,100这100个每个数的约数的个数。除了平方数，1，4，9,16,...,100(共10个外），其它所有数的约数的个数都是偶数个。因而最后亮灯的有100-10=90个。

（所有的平方数，其约数的个数都是奇数个，比如4^2=16, 当约数是4时，无法找到另外一个不同的约数与之配对)。

毒酒问题---1000桶酒，其中1桶有毒。而一旦吃了，毒性会在1周后发作。问最少需要多少只老鼠可在一周内找出毒酒

本题考查的是二进制编码问题。

 

如对1000桶按1~1000编码，需要10位二进制数。

 

因此只需要取10只老鼠，每只老鼠只喝其对应位数为1的编号的酒。

即10只老鼠按以下编码：

 

第一只 00000 00001

第二只 00000 00010

第三只 00000 00100

第四只 00000 01000

...

第十只 10000 00000

 

每只老鼠只喝其编码与酒编码做位与运算非0的酒。如果毒酒的编码在某一位为1，则监控该位的老鼠必喝，结果为1.

 

即把10只老鼠的结果，按位填入一个10位二进制数中，其结果即为毒酒编号。

 

例如：编号为10001 00011的酒是毒酒。则对应的只有第一只，第二只，第六只，第十只死亡。其对应位数置1，即为10001 00011