树状数组区间求和三种模型
来源:互联网 发布:如何寻找淘宝达人 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 00:15
树状数组在区间求和问题上有大用,其三种复杂度都比线段树要低很多……有关区间求和的问题主要有以下三个模型(以下设A[1..N]为一个长为N的序列,初始值为全0):
(1)“改点求段”型,即对于序列A有以下操作:
【1】修改操作:将A[x]的值加上c;
【2】求和操作:求此时A[l..r]的和。
这是最容易的模型,不需要任何辅助数组。树状数组中从x开始不断减lowbit(x)(即x&(-x))可以得到整个[1..x]的和,而从x开始不断加lowbit(x)则可以得到x的所有前趋。代码:
void ADD( int x, int c)
{
for ( int i =x; i <=n; i +=i&(-i)) a[i] += c;
}
int SUM( int x)
{
int s = 0;
for ( int i =x; i >0; i -=i&(-i)) s += a[i];
return s;
}
{
}
{
}
操作【1】:ADD(x, c);
操作【2】:SUM(r)-SUM(l-1)。
(2)“改段求点”型,即对于序列A有以下操作:
【1】修改操作:将A[l..r]之间的全部元素值加上c;
【2】求和操作:求此时A[x]的值。
这个模型中需要设置一个辅助数组B:B[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少(或者可以说成,到目前为止的所有ADD(i, c)操作中c的总和)。
则可以发现,对于之前的所有ADD(x, c)操作,当且仅当x>=i时,该操作会对A[i]的值造成影响(将A[i]加上c),又由于初始A[i]=0,所以有A[i] = B[i..N]之和!而ADD(i, c)(将A[1..i]整体加上c),将B[i]加上c即可——只要对B数组进行操作就行了。
【首先对于每个数A定义集合up(A)表示{A, A+lowestbit(A), A+lowestbit(A)+lowestbit(A+lowestbit(A))...} 定义集合down(A)表示{A, A-lowestbit(A), A-lowestbit(A)-lowestbit(A-lowestbit(A)) ... , 0}。可以发现对于任何A<B,up(A)和down(B)的交集有且仅有一个数。
这样就把该模型转化成了“改点求点”型,只是有一点不同的是,SUM(x)不是求B[1..x]的和而是求B[x..N]的和,此时只需把ADD和SUM中的增减次序对调即可(模型1中是ADD加SUM减,这里是ADD减SUM加)。代码:
void ADD( int x, int c)
{
for ( int i =x; i >0; i -=i&(-i)) b[i] += c;
}
int SUM( int x)
{
int s = 0;
for ( int i =x; i <=n; i +=i&(-i)) s += b[i];
return s;
}
{
}
{
}
操作【1】:ADD(l-1, -c); ADD(r, c);
操作【2】:SUM(x)。
(3)“改段求段”型,即对于序列A有以下操作:
【1】修改操作:将A[l..r]之间的全部元素值加上c;
【2】求和操作:求此时A[l..r]的和。
这是最复杂的模型,需要两个辅助数组:B[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少(和模型2中的一样),C[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少的总和(或者说,C[i]=B[i]*i)。
对于ADD(x, c),只要将B[x]加上c,同时C[x]加上c*x即可(根据C[x]和B[x]间的关系可得);
而ADD(x, c)操作是这样影响A[1..i]的和的:若x<i,则会将A[1..i]的和加上x*c,否则(x>=i)会将A[1..i]的和加上i*c。也就是,A[1..i]之和 = B[i..N]之和 * i + C[1..i-1]之和。
这样对于B和C两个数组而言就变成了“改点求段”(不过B是求后缀和而C是求前缀和)。
另外,该模型中需要特别注意越界问题,即x=0时不能执行SUM_B操作和ADD_C操作!代码:
void ADD_B( int x, int c)
{
for ( int i =x; i >0; i -=i&(-i)) B[i] += c;
}
void ADD_C( int x, int c)
{
for ( int i =x; i <=n; i +=i&(-i)) C[i] += x * c;
}
int SUM_B( int x)
{
int s = 0;
for ( int i =x; i <=n; i +=i&(-i)) s += B[i];
return s;
}
int SUM_C( int x)
{
int s = 0;
for ( int i =x; i >0; i -=i&(-i)) s += C[i];
return s;
}
inline int SUM( int x)
{
if (x) return SUM_B(x) * x + SUM_C(x - 1); else return 0;
}
{
}
{
}
{
}
{
}
inline
{
}
操作【1】:
ADD_B(r, c); ADD_C(r, c);
if (l > 1) {ADD_B(l - 1, -c); ADD_C(l - 1, -c);}
操作【2】:SUM(r) - SUM(l - 1)。
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