URAL 2052 Physical Education(数位dp)



题意：给出一个自然数数列，按照每个数的所有数位之和作为第一关键字，每个数的大小作为第二关键字升序排序，位置不变的数的个数是多少。

思路：首先可以证明，对于数位和为i的所有数，最多只可能有一个位置不变，这个可以直观的猜想一下，因为如果有一个数字位置不变，那么对于排序后的序列，这个数后面的所有数的增长速度都大于自然数序列的增长速度，所以不可能再有第二个。

假设我们当前求出了数位和为i的区间为[l, r]，令query(a, b)表示1到a这段区间内数位和为b的数的个数，用su[i-1]表示数位和为1到i-1的数的个数。

那么对于区间[l, l+query(l-1, i) -1]，一定不存在位置不变的数，因为这些数都小于l，

那么我们就把区间缩小为了[su[i-1]+query(l-1, i)+1, su[i-1]+query(r, i)],因为至多只存在一个位置不变的数，所以这个区间肯定可以一直缩小下去，这个递归来做就可以。

递归的出口是l==r且su[i-1]+query(l-1, i)+1==su[i-1]+query(r,i)，这时返回1，否则返回0。也就是说，这时l位置的这个数就是位置不变的一个数。

现在问题转化为了求query，对于这个问题，我们用一个辅助的数组dp[][][]帮助我们计算,dp[i][j][k]表示一个第i位为j数字和为k的数有多少,并且第i位是这个数的最高位。

对于query，每次如果当前位的数字比给定的n的这一位的数字小，那么后面可以随便选，这样一来就可以解决query的问题，具体见代码。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>#include<map>#include<queue>#include<stack>#include<string>#include<map>#include<set>#define eps 1e-6#define LL long longusing namespace std;//const int maxn = 100 + 5;//const int INF = 0x3f3f3f3f;int n, dp[20][20][100], su[100];void init() {for(int i = 0; i <= 9; i++) dp[1][i][i] = 1;for(int i = 2; i <= 10; i++) {for(int j = 0; j <= 9; j++) {for(int t = 0; t <= 81; t++) {for(int k = 0; k <= 9; k++)if(t>=j) dp[i][j][t] += dp[i-1][k][t-j];}}}}int query(int r, int digit_sum) {int digit[20], len=0;int tmp = r;while(tmp) {digit[++len] = tmp % 10;tmp /= 10;}int cur_sum = 0;int ans = 0;for(int i = len; i >= 1; i--) {for(int j = 0; j < digit[i]; j++) {if(digit_sum-j-cur_sum >= 0) ans += dp[i][j][digit_sum-cur_sum];}cur_sum += digit[i];}if(cur_sum == digit_sum) ans++;return ans;}void init_su() {for(int i = 1; i <= 81; i++) su[i] = su[i-1] + query(n, i);}int solve(int l, int r, int digit_sum) {int left_border = su[digit_sum-1] + query(l-1, digit_sum)+1;int right_border = su[digit_sum-1] + query(r, digit_sum);if(left_border > right_border) return 0;if(left_border==right_border) {if(su[digit_sum-1]+query(left_border-1,digit_sum)+1 == su[digit_sum-1] + query(right_border, digit_sum)) return 1;return 0;}return solve(left_border, right_border, digit_sum);}int main() {//freopen("input.txt", "r", stdin);init();while(cin >> n) {init_su();//for(int i = 1; i <= 9; i++) cout << i << ": " << query(n, i) << endl;int ans = 0;for(int i = 1; i <= 81; i++) ans += solve(su[i-1]+1, su[i], i);//for(int i = 1; i <= 10; i++) cout << i << ": " << solve(su[i-1]+1, su[i], i) << endl;cout << ans << endl;}return 0;}