URAL 2052 Physical Education(数位dp+二分)

题目链接：

URAL 2052

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题目大意：

给出一个自然数数列，按照每个数的所有数位之和作为第一关键字，每个数的大小作为第二关键字升序排序，位置不变的数的个数是多少

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题目分析：

• 首先我们定义一个查询query(x,v)是查询1~x中数位之和是v的数的个数。
• 设数组d[]表示query(n,i)的前缀和
• 然后我们可以知道数位和最大只能是81，那么我们枚举每个数i，我们可以预处理出前缀和d[]，然后我们可以知道对于数位和是i的排名的左边界d[i-1]+1,右边界d[i+1]。
• 那么我们判断这个区间当中的符合条件的数的数量，首先查找query(l-1,i)+d[i-1]，这个区间内一定不存在数位和为i但是排序后位置不变的数，因为l-1的数已经被d[i-1]覆盖,所以他们的位置都被数位和小于i的数占据，然后查找query(r,i)+d[i-1]，因为超过r的数已经超出了排序后数位和为i的数的覆盖范围，所以不能被找到。那么就判断左右边界的来判断是否存在解，如果存在解，那么继续二分区间，直到找到长度为1的区间，判断这个值是否排序前后位置不变，我们就得到了答案。
• 那么我们那个查询如何做到O(1)的复杂度呢？
• 首先定义数组dp[i][j][k]表示第i个数位为j，其他数位随便，且数位和为k的时候的数的个数.
  dp[i][j][k]=∑t=09dp[i−1][t][k−j]
• 预处理出dp数组之后，我们的query查询，查询的时候，就是从高位开始，每次贪心地想，如果当前位选择小于给定数的当前位的数，那么后面可以随便排，所以我们设当前数位上的给定的数字是digit,ret为最后的返回值，那么只需要对于每一位数组统计一下即可，也就是
  
  ret+=∑i=1n∑j=0digit−1dp[i][j][x−∑k=i+1ndigit(k)]

代码如下：

#include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cstdio>#define MAX 1007using namespace std;int dp[20][20][MAX];void init ( ){    memset ( dp , 0 , sizeof ( dp ));    for ( int i = 0 ; i < 10 ; i++ )        dp[1][i][i] = 1;    for ( int i = 2 ; i <= 19 ; i++ )        for ( int k = 0 ;k < 1000 ; k++ )            for ( int j = 0 ; j < 10 ; j++ )                for ( int t = 0 ; t < 10 ; t++ )                    if ( k-j >= 0 )                        dp[i][j][k] += dp[i-1][t][k-j];}int query ( int x , int v ){    int ret = 0;    int num[20];    int cnt = 0;    int sum = 0;    while ( x )    {        num[++cnt] = x%10;        x /= 10;        sum += num[cnt];    }    int temp = 0;    for ( int i = cnt ; i > 0 ; i-- )    {        for ( int j = 0 ; j < num[i] ; j++ )        {            ret += dp[i][j][v-temp];        }        temp += num[i];    }    return ret + (sum==v?1:0);}int ans;int d[177];int getans(int l,int r,int i){//  cout << l << " " << r <<" " <<  i << endl;    int l1=query(l,i)+d[i-1],r1=query(r,i)+d[i-1];    if(r1<=query(l-1,i)+d[i-1]) return 0;//  cout << l1 << " " << r1 << endl;    if(l==r)           if(l==l1)    return 1;            else return 0;    //if(l>=r) return 0;    int mid= (l+r)/2;    if(l<=r1&&r>=l1) return getans(l,mid,i)+getans(mid+1,r,i);        else return 0;}int main ( ){    init ( );    int n;    while(~scanf("%d",&n)){        d[0]=0;        ans=0;        for(int i=1;i<=120;i++){        d[i]=d[i-1]+query(n,i);        ans+=getans(d[i-1]+1,d[i],i);    }    printf("%d\n",ans);    }}