九度OJ 题目1139：最大子矩阵

一.题目描述：
已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。
 比如，如下4 * 4的矩阵

0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
 -4 1 -4 1
 -1 8 0 -2

的最大子矩阵是

9 2
 -4 1
 -1 8

这个子矩阵的大小是15。
输入：
输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。
 再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。
 已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。
输出：
测试数据可能有多组，对于每组测试数据，输出最大子矩阵的大小。
样例输入：

4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4  1
-1 8  0 -2
样例输出：

15

er

二.题目分析

   最大子矩阵问题，是最优解问题，首先想到的是DP，常用的DP有背包，最长子序列，这里应该是最长子序列的变形。通常的最长子序列是找出一维数组的某种条件序列，这里的矩阵问题是二维的，那么应该怎么样对应起来呢？当然是降维！我们可以纵向压缩，将矩阵列压缩为一个点，从而将最大子矩阵（二维，纵向+横向）转换为最大序列和（一维，纵向一定，横向最大），达到降维的目的，找出横向的最优问题。

三.代码

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX 110int MaxSubMerticx(int *a,int N)  //一维最大序列和问题{    int max,dp[MAX],i;    max=a[0];    dp[0]=a[0];    for(i=1;i<N;i++)    {        dp[i]=(dp[i-1]+a[i])>a[i]?(dp[i-1]+a[i]):a[i];  //最长子序列        if(dp[i]>max)            max=dp[i];    }    return max;}int main(){    //    int N,metricx[MAX][MAX],dp[MAX],sum,max;    int i,j,k;    freopen("1139.txt","r",stdin);    while(scanf("%d",&N)!=EOF)    {        for(i=0;i<N;i++)            for(j=0;j<N;j++)                scanf("%d",&metricx[i][j]);        max=metricx[0][0];        for(i=0;i<N;i++)       //从第i行开始向下，依次枚举所有可能的矩阵        {            for(j=0;j<N;j++)  //保存从第i行到第j行的列和，相当于纵向压缩，将矩阵列压缩为一个点，从而将最大子矩阵（二维，纵向+横向）转换为最大序列和（一维，纵向一定，横向最大），达到降维的目的                dp[j]=0;            for(j=i;j<N;j++)            {                for(k=0;k<N;k++)   //计算到达j行为止的每一列的和                    dp[k]+=metricx[j][k];                sum=MaxSubMerticx(dp,N);   //求出在纵向为从i到j行，横向为0-N的最大横向方向子序列                if(sum>max)                    max=sum;     //更新全局最优解            }        }        printf("%d\n",max);    }    return 0;}