poj4549 费马小定理+矩阵快速幂取余

来源：互联网发布：服务器数据备份方案编辑：程序博客网时间：2024/06/06 02:11

题意：M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a

F[1] = b

F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）你能求出F[n]的值吗？只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可。

分析：很容易推出F[n] = a^(f[n-1])*b^f[n]（f[n]为斐波那契数列）

然而F[n]太大对mode取模即可，就相当于求（ a^(f[n-1])*b^f[n]）% mode，但是此时f[n]又太大了，快速幂肯定算不下，所以就要用费马小定理（初等数论四大定理之一）进行降幂处理

费马小定理(Fermat Theory)（百度百科）其内容为：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

这样本题就是求 (a^(f[n-1]%(m-1))*b^(f[n]%(m-1)))%mode

但是同时原来求斐波那契数列直接扫一遍是O(n)的复杂度，对这道题肯定会TLE，所以就要用矩阵快速幂取余的知识，真是学习了

然后再用快速幂就可以解决了。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>#include <cctype>#include <vector>#include <set>#include <map>#include <queue>using namespace std;#define ll long long//用long long 不然会溢出const int maxn = 1000000+5;const int mode = 1e9+7;const int fi_mode = 1e9+6;struct Matrix{    ll m[3][3];};Matrix multy(Matrix a,  Matrix b)//矩阵乘法{        Matrix tmp;        for (int i = 0; i < 2; i++)        {            for (int j = 0; j < 2; j++)            {                tmp.m[i][j] = 0;                for (int k = 0; k <2; k++)                    tmp.m[i][j] = (tmp.m[i][j] + a.m[i][k]*b.m[k][j])%fi_mode;            }        }        return tmp;}Matrix ans, base;ll fi_fast_mode(ll n)//求base的n次幂{    base.m[0][0] = base.m[0][1] = base.m[1][0] = 1;    base.m[1][1] = 0;    ans.m[0][0] = ans.m[1][1] = 1;//ans初始化为单位矩阵    ans.m[0][1] = ans.m[1][0] = 0;    while(n)    {        if (n&1)ans = multy(ans, base);        n >>= 1;        base = multy(base, base);    }    return ans.m[0][1];}ll fast_mode(ll x, ll n){    ll tmp = 1;    while (n)//快速幂形式    {        if (n&1) tmp = (tmp*x)%mode;        n >>= 1;        x = (x*x)%mode;//此处记得取余，WA一发    }    return  tmp%mode;}int main(){//freopen("input.txt", "r", stdin);ll a, b, n;while (cin >> a >> b >> n)    {        if (a == 0 || b == 0) {printf("0\n");continue;}        int  fi_a, fi_b;        if (n == 0) {            fi_a = 1;            fi_b = 0;        }        else {            fi_a = fi_fast_mode(n-1);            fi_b = fi_fast_mode(n);        }        //cout  << fi_a << " " << fi_b << endl;        ll ans = 1;        ans = (ans*fast_mode(a, fi_a))%mode;        ans = (ans*fast_mode(b, fi_b))%mode;        cout << ans << endl;    }}

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