HDUOJ 1292 人员分组递推公式推导

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1292

问题

一共有n个同学参加夏令营，这些同学进行自由组队（每对人数不限），一共会有多少种不同的组队方案呢？

公式推导

设 f(n, m)（1 <= m <= n） 表示 n 个人分成 m 组，这样子的分组方案数量。
设 F(n) = f(n,1) + f(n,2) + ... + f(n,n)，即为 n 个人的总分组方案数量。
可以知道:
f(n,n) = 1（每个人一组，显然只有一种分组方案），
f(n,1) = 1（所有人都在同一个组里，显然只有一种分组方案）。
假如已经推算出 n 个人分成 m 组的分组方案，此时增加一个人依然拆分成m组，相比之前到底改变了什么呢？

1. 新人加入到了原来的分组里，那么新人可以在每个方案的 m 组里任选一组来加入，f(n+1, m) = f(n, m) * m;
2. 新人单独构成一组，他没有加入任何组，那么想要凑到 m 组只需之前的 n 个人分成 m-1 组的方案分别加上新人所在组，f(n+1, m) = f(n, m-1);

由以上互斥的两种情况合并得：

f(n + 1, m) = f(n, m) * m + f(n, m - 1)

分组方案举例以及带入公式计算校验

aaba babcac ba bcab ca b cabcdacd bac bdad bca bcdabd cab cdad b ca bd ca b cdabc dac b da bc dab c da b c df(1, 1) = 1f(2, 1) = 1f(2, 2) = 1f(3,3) = 1f(3,2) = f(2,2) * 2 + f(2,1) = 3f(3,1) = 1f(4,1) = 1f(4,2) = f(3,2) * 2 + f(3,1) = 3 * 2 + 1 = 7;f(4,3) = f(3,3) * 3 + f(3,2) = 1 * 3 + 3 = 6;f(4,4) = 1F(4) = 15