左递归文法

一个文法G，若存在P经过一次或多次推导得到Pa（即能推导出以P开头的式子）， 则称G是左递归的。

　　左递归分为直接左递归和间接左递归。
　　直接左递归经过一次推导就可以看出文法存在左递归，如P→Pa｜b。
　　间接左递归侧需多次推导才可以看出文法存在左递归，如文法：S→Qc｜c，Q→Rb｜b，R→Sa｜a有S =>Qc =>Rbc =>Sabc

消除直接左递归的方法：

　　1、把所有产生式写成候选式形式。如A→Aa1｜Aa2……｜Aan｜b1｜b2……｜bm。其中每个a都不等于ε，而第个b都不以A开头。
　　2、变换候选式成如下形式：
　　A→b1A’｜b2A’……｜bmA’
　　A’ →a1A’｜a2A’……｜anA’｜ε

　　例1：文法E→E+T｜T，T→T*F｜F，F →（E）｜id消除直接左递归后有：
　　E→TE’，E’ →+TE’｜ε，T→FT’，T’ →*FT’｜ε，F→（E）｜id

消除间接左递归的方法：

　　要求文法不存在A 经过一次或多次能推导出A和不存在ε产生式（形如Ａ→ε）。
　　1、以某种顺序排列非终结符A1，A2，……，An；
　　2、for i ＝ 1 to n do
　　　　{for j ＝ 1 to i - l do
　　　　　{ 用产生式Ａi→a1b｜a2b｜……｜akb代替每个开如Ai→Ajb的产生式，其中，Aj→a1｜a2｜……｜ak是所有的当前Aj产生式；}
　　　　消除关于Ai产生式中的直接左递归性}
　　　}
　　3、化简由步骤2所得到的文法。

　　例2：有文法S→Qc｜c，Q→Rb｜b，R→Sa｜a，消除文法的左递归。
　　以非终结符号排序为R，Q，S
　　把R的产生式代入Q中有：
　　Q → （Sa｜a）b｜b
　　Q → Sa b｜ab｜b
　　把Q的产生式代入S中有：
　　S → （Sa b｜ab｜b）c｜c 　
　　S → Sa bc｜abc｜bc｜c
　　消除直接左递归得到结果：
　　S → abcS’｜bc S’｜cS’
　　S’→ abcS’｜ε
　　Q → Sa b｜ab｜b
　　R → Sa｜a
　　Q 和 R的产生式是多余的删除，得到最终结果：
　　S → abcS’｜bc S’｜cS’
　　S’→ abcS’｜ε

注：无法根据左递归文法编写出递归下降分析器，因而把左递归文法等价变换为非左递归文法至关重要，以下是变换的算法：
1、消除直接左递归
原文法: E –> E a1 | E a2 | … | E an | b1 | b2 | … | bn
消除后: E –> b1 E’ | b2 E’ | … | bn E’
E’–> a1 E’ | a2 E’ | … | an E’ | epsilon
2、消除间接左递归
a) 把所有非终结符号按一定序列排序为E1, E2, … En；
b) for i=1 to n do /依次处理每个非终结符号/
for j=1 to i-1 do /处理第1个到i-1个/
若Ei –> Ej r
则改为Ei –> S1 r | S2 r | … | Sk r
其中Ej –> S1 | S2 | … | Sk
c) 对Ei消除直接左递归。
注：非终结符的排列顺序不同，结果可能不同。
3、去掉无用符号和无用产生式