N排列盒子涂色方法总和 DP SRM 666 div1 medium SumOverPermutations

SumOverPermutations

http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=13764&rd=16515

题解摘自http://www.cnblogs.com/HarryGuo2012/p/4777063.html

题意：

有个奇葩，组合数学很渣，老师问他：无限个n种颜色的球放在n个有顺序的盒子中，每个盒子放一个，相邻盒子的球的颜色不同，有多少种方法。这个奇葩给了个奇葩的解答，他说这和放的顺序有关，比如有三个盒子，三种颜色的球，若放的顺序是 1 2 3，那么答案就是3×2×2，若放的顺序是 1 3 2，那么答案就是3×3×1。更一般的，他认为，若一个位置的左侧和右侧都被放了，那么现在有(n-2)种可能性，若只有一侧被放了，那么有(n-1)种可能性，若两侧都没放，那么有n种可能性。我们知道这是明显错误的，但是，题目就是问你，给你个n，这n!种放的顺序按照这个奇葩的算法得到的答案是多少。

题解：

令dp[i]  表示n种颜色放在i个盒子中，答案是多少。那么转移就只有两种情况：

一种是将第i个球放在边界上，这种的转移是dp[i]=2∗dp[i−1]∗(n−1)，第一项的2表示左右两个边界，第二项dp[i−1]表示i−1时的情况，第三项n−1表示由于第i个球在边界，所以只乘n−1

另外一种是将第i个球放在中间某个位置，假设其左侧有j个球，那么转移必然是

dp[i]=∑j=1i−2Cji−1∗dp[j]∗dp[i−j−1]∗(n−2)

所以总的转移是

dp[i]=(∑j=1i−2Cji−1∗dp[j]∗dp[i−j−1]∗(n−2))+2∗dp[i−1]∗(n−1)

答案显然是dp[n]

long long dp[MAX_N];long long mod=1000000007;long long C[MAX_N][MAX_N];class SumOverPermutations{        public:        int findSum(int n)        {            C[0][0]=1;            for(int i=1;i<=n;i++)                for(int j=0;j<=i;j++)                    C[i][j]=(j==0?1:C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;            dp[1]=n%mod;            dp[2]=n%mod*(n-1)%mod*2%mod;            for(int i=3;i<=n;i++){                dp[i]=2%mod*(n-1)%mod*dp[i-1]%mod;                for(int j=1;j<=i-2;j++)                    dp[i]=(dp[i]+C[i-1][j]%mod*dp[j]%mod*dp[i-j-1]%mod*(n-2)%mod)%mod;            }            return dp[n]%mod;        }};