树状数组

刷PAT A-Level第1057题时第一次接触树状数组，转载http://kmplayer.iteye.com/blog/562119 的文章深入了解

1,用途 
树状数组是一种非常优雅的数据结构.当要频繁的对数组元素进行修改,同时又要频繁的查询数组内任一区间元素之和的时候,可以考虑使用树状数组. 
换句话说,树状数组最基本的应用: 
对于一个数组，如果有多次操作，每次的操作有两种：1、修改数组中某一元素的值，2、求和，求数组元素a[1]+a[2]+…a[num]的和。 
2,复杂度 
最直接的算法可以在O(1)时间内完成一次修改,但是需要O(n)时间来进行一次查询.而树状数组的修改和查询均可在O(log(n))的时间内完成. 
3,生成 
设a[1...N]为原数组,定义c[1...N]为对应的树状数组: 
c[i] = a[i - 2^k + 1] + a[i - 2^k + 2] + ... + a[i] 
其中k为i的二进制表示末尾0的个数,所以2^k即为i的二进制表示的最后一个1的权值. 
所以2^k可以表示为n&(n^(n-1))或更简单的n&(-n). 

int lowbit(int n){return n& (-n);          //or return n&(n^(n-1));}

也就是说，把k表示成二进制1***10000，那么c[k]就是1***00001 + 1***00010 + ... + 1***10000这一段数的和。 
举例: 
 
可以看出:设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k个元素。（其中k为x二进制末尾0的个数） 
C1 = A1 
C2 = A1 + A2 
C3 = A3 
C4 = A1 + A2 + A3 + A4 
C5 = A5 
C6 = A5 + A6 
C7 = A7 
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 
... 
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16 
4,修改 
修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。 
对a[n]进行修改后,需要相应的修改c数组中的p1, p2, p3...等一系列元素 
其中p1 = n,  pi+1 = pi + lowbit(pi) 
所以修改原数组中的第n个元素可以实现为: 

void Modify(int n, int delta){while(n <= N){ c[n] += delta; n += lowbit(n);}}

5,求和 

当要查询a[1],a[2]...a[n]的元素之和时,需要累加c数组中的q1, q2, q3...等一系列元素 
其中q1  = n,qi+1 = qi - lowbit(qi) 
所以计算a[1] + a[2] + .. a[n]可以实现为: 

int Sum(int n){int result = 0;while(n != 0){ result += c[n]; n -= lowbit(n); }return result;}

为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明： 
n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。 

换句话说: 
若需改变a[i]，则c[i]、c[i+lowbit(i)]、c[i+lowbit(i)+lowbit(i+lowbit(i)]……就是需要改变的 c数组中的元素。 
若需查询s[i]，则c[i]、c[i-lowbit(i)]、c[i-lowbit(i)-lowbit(i- lowbit(i))]……就是需要累加的c数组中的元素。 

6,与线段树的比较 
树状数组是一个可以很高效的进行区间统计的数据结构。在思想上类似于线段树，比线段树节省空间，编程复杂度比线段树低，但适用范围比线段树小。 

7,应用 
(1)http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2155 
首先对于每个数A 
定义集合up(A)表示{A, A+lowestbit(A), A+lowestbit(A)+lowestbit(A+lowestbit(A))...} 
定义集合down(A)表示{A, A-lowestbit(A), A-lowestbit(A)-lowestbit(A-lowestbit(A)) ... , 0}。 
可以发现对于任何A<B，up(A)和down(B)的交集有且仅有一个数。 
于是对于这道题目来说，翻转一个区间[A,B]（为了便于讨论先把原问题降为一维的情况），我们可以把down(B)的所有元素的翻转次数+1，再把down(A-1)的所有元素的翻转次数-1。而每次查询一个元素C时，只需要统计up(C)的所有元素的翻转次数之和，即为C实际被翻转的次数。 
(2)http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3321 
一棵树上长了苹果，每一个树枝节点上有长苹果和不长苹果两种状态，两种操作，一种操作能够改变树枝上苹果的状态，另一种操作询问某一树枝节点一下的所有的苹果有多少。具体做法是做一次dfs，记下每个节点的开始时间low[i]和结束时间high[i]，那么对于i节点的所有子孙的开始时间和结束时间都应位于low[i]和high[i]之间，另外用一个数组c[i]记录附加在节点i上的苹果的个数，然后用树状数组统计low[i]到high[i]之间的附加苹果总数。这里用树状数组统计区间可以用Sum(high[i])-Sum(low[i]-1)来计算。 

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <vector>using namespace std;//vector<int> g[100005];struct Node{    int v;    struct Node *next;}g[100005];int n,m,cnt,low[100005],high[100005],c[100005],flag[100005];bool mark[100005];void dfs(int v){    struct Node *p=g[v].next;    mark[v]=true;    cnt++;    low[v]=cnt;    while(p)    {        if(!mark[p->v])            dfs(p->v);        p=p->next;    }    high[v]=cnt;}int lowbit(int k){    return k&(-k);}void Modify(int num, int v){    while(num <= n)    {        c[num]+=v;        num+=lowbit(num);    }}int Sum(int num){    int ans=0;    while(num > 0)    {        ans+=c[num];        num-=lowbit(num);    }    return ans;}int main(){    int i,a,b,ans;    char temp[10];    struct Node *p;    //freopen("in.txt","r",stdin);    scanf("%d",&n);    memset(g,0,sizeof(g));    for(i=1; i<n; i++)    {        scanf("%d%d",&a,&b);        p=new Node;        p->next=g[a].next;        p->v=b;        g[a].next=p;        p=new Node;        p->next=g[b].next;        p->v=a;        g[b].next=p;    }    memset(mark,false,sizeof(mark));    memset(c,0,sizeof(c));    for(i=1; i<=n; i++)        flag[i]=1;    cnt=0;    dfs(1);    scanf("%d",&m);    while(m--)    {        scanf("%s",temp);        if(temp[0] == 'Q')        {            scanf("%d",&a);            ans=high[a]-low[a]+1+Sum(high[a])-Sum(low[a]-1);            printf("%d\n",ans);        }        else        {            scanf("%d",&a);            if(flag[a]) Modify(low[a],-1);            else Modify(low[a],1);            flag[a]^=1;        }    }    return 0;}

(3)http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2481 
给n个区间[Si,Ei]，区间[Sj,Ej]< [Si,Ei] 有 Si <= Sj and Ej <= Ei and Ei - Si > Ej – Sj。按y坐标从小到达，x坐标从大到小的顺序排序，然后从后往前扫描，记录i之前所有的j区间Sj<Si的个数，这个用树状数组实现。扫描一遍可得出结果。

#include <stdio.h>#include <string>#include <algorithm>using namespace std;struct P{    int x,y,id;}p[100005];int n,a[100005],max_n,b[100005];int lowbit(int k){    return k&(-k);}void Modify(int num, int v){    while(num <= max_n)    {        a[num]+=v;        num+=lowbit(num);    }}int Sum(int num){    int ans=0;    if(num <= 0) return 0;    while(num)    {        ans+=a[num];        num-=lowbit(num);    }    return ans;}bool operator <(const P a, const P b){    if(a.y == b.y) return a.x > b.x;    return a.y < b.y;}int main(){    int i;    //freopen("in.txt","r",stdin);    while(scanf("%d",&n), n)    {        max_n=0;        for(i=0; i<n; i++)        {            scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);            p[i].id=i;            p[i].x++;            p[i].y++;            if(p[i].y > max_n) max_n=p[i].y;        }        sort(p,p+n);        memset(a,0,sizeof(a));        for(i=n-1; i>=0; i--)        {            if(i != n-1 && p[i].y == p[i+1].y && p[i].x == p[i+1].x)                b[p[i].id]=b[p[i+1].id];            else                b[p[i].id]=Sum(p[i].x);            Modify(p[i].x,1);        }        for(i=0; i<n; i++)        {            if(i) printf(" ");            printf("%d",b[i]);        }        printf("\n");    }    return 0;}

(4)用树状数组求区间第K小元素 
算法的时间复杂度是O(log(n))的，如果要求在线计算的话显然很有优势。 
基本思路是： 
先开一个数组，其中记录某个数出现次数，每输入一个树，相当于将该数出现次数加1，对应到树状数组中就相当于insert(t, 1),统计的时候，可以利用树状数组的求和，既可以二分枚举，也可以利用数的二进制表示，下面的代码有效地利用了数的二进制表示。 

#include <iostream>using namespace std;#define maxn 1<<20int n,k;int c[maxn];int lowbit(int x){    return x&-x;}void insert(int x,int t){       while(x<maxn){          c[x]+=t;          x+=lowbit(x);       }}int find(int k){    int cnt=0,ans=0;    for(int i=20;i>=0;i--){        ans+=(1<<i);        if(ans>=maxn || cnt+c[ans]>=k)ans-=(1<<i);        else cnt+=c[ans];    }    return ans+1;}void input(){       memset(c,0,sizeof(c));       int t;       scanf("%d%d",&n,&k);       for(int i=0;i<n;i++){            scanf("%d",&t);            insert(t,1);       }       printf("%d\n",find(k));}int main(){    int cases;    scanf("%d",&cases);    while(cases--){        input();    }    return 0;}