关于实数理论的探讨（一）

1.自然数的定义问题

1）皮亚诺5公理

• 公理1. 1是自然数；
• 公理2. 每一个确定的自然数都有一个确定的后继者；
• 公理3. 具有相同后继者的自然数相等；
• 公理4. 1不是任何自然数的后继者；
• 公理5（数学归纳法公理）. 如果某个集合S满足如下性质：
  1）1∈S中;
  2）若n∈S，则n+1∈S;
  则S=N.

2)如何理解皮亚诺5公理呢？

   首先可以这样说，满足皮亚诺5公理的集合，都可以称之为自然数集，该集合中的每一个元素称之为自然数。至于什么是公理呢？通俗讲，公理不过是逻辑推理的起点而已，即规则，不容证明，如果你不接受这5条公理，那么接下来的一切也没必要谈论了，所以，若想继续看下去，则你要接受这5条公理。就像罗素初学《几何原本》时，他的哥哥告诫他，必须接受5条公理，包括平行公设，否则接下来没有意义。   其次，在上面，我们使用了符号$1,n+1$等，这些在建立自然数时是可以用的吗？加法难道不需要来定义吗？你说的是正确的，加法确实需要来定义，所以你常常在实数理论构造中，常常见到加法原理、乘法原理等，这里实际上也需要这样做；不过在这里我们可以将n+1看成是符号，没有任何运算意义。   再次，在集合$N$ 上定义运算，实际上这牵涉到代数结构了，更细致的便是群环域等代数结构，这是抽象代数的内容，此处不再详细讨论。   最后，如果我们真的要彻底的理解自然数，恐怕需要的知识太多了，包括朴素集合论、抽象代数，还有一些数理逻辑基础等知识，当然这是一个浩大的工程，不过我们也只是了解一下，帮助理解，最重要的还是其定义。

2.无穷公理