猴子分桃

五只猴子分桃。半夜，第一只猴子先起来，它把桃分成了相等的五堆，多出一只。于是，它吃掉了一个，拿走了一堆； 第二只猴子起来一看，只有四堆桃。于是把四堆合在一起，分成相等的五堆，又多出一个。于是，它也吃掉了一个，拿走了一堆；.....其他几只猴子也都是 这样分的。问：这堆桃至少有多少个？第五只猴子走后还剩多少个桃子？

解答如下：

第一只猴子拿走的桃子数（包括吃掉的一个）：a=(x+4)/5，剩余的桃子数：A=x-a=x-(x+4)/5=4(x-1)/5

第二只猴子拿走的桃子数：b=(A+4)/5=4(x+4)/25，剩余的桃子数：B=A-b=4(x-1)/5-4(x+4)/25=4(4x-9)/25

第三只猴子拿走的桃子数：c=(B+4)/5=16(x+4)/125，剩余的桃子数：C=B-c=4(16x-61)/125

第四只猴子拿走的桃子数：d=(C+4)/5=64(x+4)/625，剩余的桃子数：D=C-d=4(64x-369)/625

第五只猴子拿走的桃子数：e=(D+4)/5=256(x+4)/3125，剩余的桃子数：E=D-e=4(256x-2101)/3125

而此问题是一个实际问题，因此每只猴子拿走的桃子数应为整数。因此得到(x+4)至少应为3125，x=3121.

拓展问题：假设有n只猴子分桃，第一只猴子把桃分成了相等的n堆，，多出一只，于是，它吃掉了一个，拿走了一堆；第二只猴子把剩下的桃子合在一起，分成相等的n堆，又多出一个。于是，它也吃掉了一个，拿走了一堆；.....其他几只猴子也都是 这样分的。

第一只猴子拿走的桃子数（包括吃掉的一个）：a1=(x+n-1)/n

第二只猴子拿走的桃子数：a2=(x-a1+n-1)/n=(n-1)(x+n-1)/n^2

第三只猴子拿走的桃子数：a3=(x-a1-a2+n-1)/n=(n-1)^2*(x+n-1)/n^3

第四只猴子拿走的桃子数：a4=(x-a1-a2-a3+n-1)/n=(n-1)^3*(x+n-1)/n^4

第五只猴子拿走的桃子数：a5=(x-a1-a2-a3-a4+n-1)/n=(n-1)^4*(x+n-1)/n^5

以此类推，可得到第i只猴子拿走的桃子数：ai=(n-1)^(i-1)*(x+n-1)/n^i

第n只猴子拿走的桃子数：an=(n-1)^(n-1)*(x+n-1)/n^n

考虑一般情形，(x+n-1)应为n^n的倍数，因此(x+n-1)至少为n^n，则原来这堆桃子的数目为x=n^n-n+1.

public class MonkeyDemo {public static void main(String[] args) {int n=5;//猴子的数目double x=Math.pow(n, n)-n+1;//桃子的数量System.out.println("原来的数目："+(int)x);double[] a=new double[n];double sum=0;for(int i=1;i<=n;i++){a[i-1]=Math.pow(n-1, i-1)*(x+n-1)/Math.pow(n, i);sum+=a[i-1];System.out.println("第"+i+"只猴子拿走的桃子数目："+(int)a[i-1]+" 剩余桃子数目："+(int)(x-sum));}}}