关于实数域的构成猜想

昨天晚上整理完项目，在床上闭目难眠，突然想到一个问题，就是有理数是不是跟虚数成镶嵌结构构成实数域。众所周知，实数域由有理数和无理数构成，其中，有理数可以表示为分数。那么，有理数和无理数是不是按照有理数，无理数，有理数，无理数的排列构成实数域呢？

这里，这个猜想的证明很容易陷入误区（刚刚开始我以为是），就是由实数的稠密性得，每两个有理数之间必含有一个无理数，同时，每两个无理数之间必含有一个有理数。从而错误的认为该猜想正确。但是，事实上，这个猜想是错误的，举个例子：

黎曼函数是定义在[0，1]上的函数，为

此函数是在（0，1）上任何无理点都连续，有理点处不连续，所以倘若猜想成立，那么黎曼函数若在无理点处连续，则必在有理点连续，因为无理点有理点连在一起。

但事实上这个这是错误的，而这种证明方法错在哪里呢？

这里引入希尔伯特旅馆：希尔伯特在谈到“无限大数”的奇怪而美妙的性质时说到：

我们设想有一家旅馆，内设有无限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了一位新客，想订个房间，“对不起”，旅馆主人说，“所有的房间都住满了。”现在再设想另一家旅馆，内设无限个房间，所有的房间也都客满了。这时也有一位新客，想订个房间。“不成问题！”旅馆主人说。接着他就把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号房间等等，这样继续移下去。这样一来，新客就被安排住进了已被腾空的1号房间。我们再设想一个有无限个房间的旅馆，各个房间也都住满了客人。这时又来了无穷多位要求订房间的客人。“好的，先生们，请等一会儿。”旅馆主人说。于是他把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此等等，这样继续下去。现在，所有的单号房间都腾出来了，新来的无穷多位客人可以住进去，问题解决了！此时，又来了无穷多个旅行团，每个旅行团有无穷多个旅客，只见这个老板不慌不忙，让原来的旅客1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号。这样，1号，3号，5号……所有奇数房间就都空出来了。

    在我看来，这个证明的错误与希尔伯特旅馆的原理有异曲同工之妙，首先，他们都是无穷的问题，其次，他们都错把无穷看成有穷来对待，也就是说实数域是无穷的，不能把它分割为有穷的一小块一小块来对待，因为即使由实数的稠密性得，每两个有理数之间必含有一个无理数，同时，每两个无理数之间必含有一个有理数，但是，我们不能就认为他们之间只包含一个数，因为他们之间事实上包含着无穷！