最长递增子序列

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一 问题描述

设序列L = <a1, a2, a3, ..., an>是长度为n的序列，L的一个递增序列描述为：<ai1, ai2,..., aik>, 其中下标序列 <i1, i2, ..., ik>是

递增的， 子序列<ai1, ai2, ...., aik> 也是递增的。此递增序列的长度为 k

二 解法1， 转化为LCS问题

先把序列 L 按照从小到大的顺序排列， 得到另一个序列S，再求L和S的最长公共子序列

三 解法2，动态规划

另 len[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长递增子序列的长度，最后求出 max { len[i] } 即可

实例 <1, 3, 4, 2, 7>

len[1] = 1, 以1结尾的最长递增子序列是<1>, 长度为1

len[2] = 2, 以3结尾的最长递增子序列是<1,3>, 长度为2

len[3] = 3, 以4结尾的最长递增子序列是<1, 3, 4>, 长度为3

len[4] = 2, 以2结尾的最长递增子序列是<1, 2>，长度为2

那么，如何求len[5]呢？转化为下面的子问题：

第5个元素等于7，找到一个序号在a[5]前面且小于a[5]的元素a[i]， 以a[i]结尾的最长递增子序列加上a[5]， 组成一个新的最长递增子序列，其

长度比原来的多1。比a[5]小的元素有多个（最多4个），那么得到的递增子序列也有多个，其中最长的那个就等于以a[5]结尾的最长递增子序列。

例中，a[3 ]比a[5]小，而且以a[3]结尾的最长递增子序列是最长的， 故以a[5]结尾的递增子序列长度在其基础上加1，等于4

len[5] = 4, 以5结尾的最长递增子序列是<1,3,4,5>，长度为4

四 解法3，对解法2的改进

解法2中，求len[i]的时候， 要从a[1], ... a[i-1]中找出所有比 a[i] 小的元素，而a[1], ... a[i-1]是无序的。查找速度比较慢。

引出数组 f[k] 表示长度等于k的递增子序列中最末尾的元素, 长度越长的序列，其末尾元素也越大，所以f[k]是递增的。

实例 <1, 3, 4, 2, 7>

len[1] = 1, f[1] = a[1] = 1

len[2] = 2, f[2] = a[2] = 3

len[3] = 3, f[3] = a[3] = 4

len[4] = 2, f[2] = a[4] = 2 ( 更新了f[2] )

那么，如何求len[5] 呢？

f[1] = 1, f[2] = 2, f[3] = 4, a[5] = 7，

找出末尾元素比a[5]小，而且长度最长的递增子序列，此例中，

f[3] = 4 表示长度等于3的子序列，其末尾元素为4，这个子序列的长度最长。

a[5]加上此序列形成的新序列长度为4, 然后更新f[4] = a[5] = 7，表示长度

等于4的子序列，其末尾元素等于7

在上面的步骤中，找出末尾元素比a[i]小，而且长度最长的子序列，其实就是

对于f[1], ...f[k]， 从后往前找，第一个比a[i]小的元素就是长度最长的子序列。查找的时候

可以用二分查找方法。故比解法1更快。

自己不好的代码：

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;int a[100],n;void Input(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);}}int MAX(int x,int y){if(x<y) return y;else return x;}void trans_lcs(int *b)//O(n*n+n*logn){int bb[100];int dp[100][100];memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1;i<=n;i++)bb[i]=b[i];sort(bb+1,bb+n+1);dp[0][0]=0;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){if(b[i]==bb[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;else dp[i][j]=MAX(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);}    cout<<dp[n][n]<<endl;}void dynamic(int *b)//O(n*n){int len[100];int MAX;memset(len,0,sizeof(len));len[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){MAX=-1;for(int j=1;j<i;j++){if(MAX<len[j]&&b[i]>b[j])//如果是非递减的当找到b[i]=b[j]是len[i]=len[mark] {MAX=len[j];}}len[i]=MAX+1;}MAX=-1;for(int i=1;i<=n;i++){if(MAX<len[i]){MAX=len[i];}}cout<<MAX<<endl;}void binary_dynamic(int *b)//O(n*logn){int f[100];//f[k]长度为k的递增子序列的最后一个元素值。int len[100];//len[k]以第k个元素结尾的递增子序列的长度。int length=1;//当前最长子序列的长度。 len[1]=1;f[1]=b[1];for(int i=2;i<=n;i++){int now;int lft=1,rht=length;//找到在f中第一个比a[i]小的，更新他后面的一个 while(lft<=rht){int mid=(lft+rht)>>1;if(b[i]>=f[mid])//严格递增就把"="去掉{now=mid;lft=mid+1;}else {rht=mid-1;                 now=mid;            }}f[lft]=b[i];if(lft>length)//都比它小，最长子序列长度增加 {    length++;len[i]=length; }else len[i]=len[lft];} for(int i=1;i<=n;i++){cout<<len[i]<<" ";}cout<<endl;cout<<length<<endl;}int main(){int t;scanf("%d",&t);while(t--){Input();cout<<"转化为LCS问题："; trans_lcs(a);cout<<"动态规划：";dynamic(a); cout<<"动态规划二分优化：";binary_dynamic(a); }return 0;}