noip2009 hankson的趣味题 （扩展欧几里得求最大公约数，最小公倍数与最大公约数）

P1753HackSon的趣味题

Accepted

标签：数论NOIP提高组2009

描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现
在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。 
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现
在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公
倍数”之类问题的“逆问题” ，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整
数 x 满足： 
1． x 和 a0 的最大公约数是 a1； 
2． x 和b0 的最小公倍数是 b1。 
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的
x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮
助他编程求解这个问题。

格式

输入格式

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每
行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入
数据保证 a0能被 a1 整除，b1 能被 b0整除。

输出格式

共n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。 
对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0； 
若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

样例1

样例输入1[复制]

2 41 1 96 288 95 1 37 1776 

样例输出1[复制]

6 2 

限制

每个测试点1s

来源

NOIP 2009

解析：1.gcd(x,a0)=a1  => gcd(x/a1,a0/a1)=1

         2.x*b0/gcd(x,b0)=b1 => ①x*(b0/gcd*(x,b0))=b1

                                                 ②gcd(x,b1/b0)=1

         由上可知，x一定为b1的一个约数，那么直接从1到sqrt(b1)进行枚举，找到x，并判断是否符合要求即可。

代码：

#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;int gcd(int x,int y){  int t;  while(x%y)t=x%y,x=y,y=t;  return y;}int main(){  int a0,a1,b0,b1;  int i,j,k,n,x,y,z,sum;  scanf("%d",&n);  for(i=1;i<=n;i++)    {      scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);  x=a0/a1,y=b1/b0,z=(int)sqrt(b1*1.0);  for(sum=0,j=1;j<=z;j++)if(b1%j==0)    {      if(j%a1==0 && gcd(j/a1,x)==1 && gcd(b1/j,y)==1)sum++;      if((b1/j)%a1==0 && gcd((b1/j)/a1,x)==1 && gcd(j,y)==1)sum++;    }  if(z*z==b1 && z%a1==0 && gcd(z/a1,x)==1 && gcd(z,y)==1)sum--;    printf("%d\n",sum);    }  return 0;}